第3章-弹性地基梁理论

第3章弹性地基梁理论概述弹性地基梁的计算模型弹性地基梁挠度曲线微分方程式及其初参数解弹性地基短梁、长梁及刚性梁3.1概述弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。弹性地基梁与普通梁的区别普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基梁是无穷多次超静定结构。普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。3.2弹性地基梁的计算模型局部弹性地基模型温克尔假设：kpy把地基模拟为刚性支座上一系列独立的弹簧。缺点：局部弹性地基模型没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基梁的实际情况。但如果地基的上部为较薄的土层，下部为坚硬岩石，这时将得出比较满意的结果。半无限体弹性地基模型弹性地基梁的受力和变形假设把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体。优点反映了地基的连续整体性，同时从几何上、物理上对地基进行了简化。缺点•弹性假设没有反映土壤的非弹性性质；•均质假设没有反映土壤的不均匀性；•半无限体的假设没有反映地基的分层特点；•数学处理上比较复杂。3.3弹性地基梁挠度曲线微分方程式及其初参数解基本假定地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的挠度处处相等；由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直；地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。弹性地基梁的挠度曲线微分方程式弹性地基梁的微元分析0Y)(xqkydxdQ0AMdxdMQ考察微段的平衡有：化简得：省略二阶微量化简得：合并二式得：)(xqkydxMd22dxdy22dxydEIdxdEIM33dxydEIdxdMQ根据材料力学有：代入化简得到挠曲微分方程：)(44xqkydxydEI对应齐次微分方程的通解044kydxydEI0)(xq令挠曲微分方程中，得到对应齐次微分方程：xAxAexAxAeyaxaxsincossincos4321xxshBxxshBxxchBxxchBysincossincos4321)(),()(),(42421332221121212121BBABBABBABBA且令：通解为：利用双曲函数关系：shaxchaxeshaxchaxeaxax,得到另一通解：初参数解初参数法)sincos()cossin([sincossincos214321axshaxaxchaxBaxshaxaxchaxBaaxshaxBaxshaxBaxchaxBaxchaxBy)sincos()cossin([axshaxaxchaxBaxshaxaxchaxBEIQ2132)]sincos()cossin(43axchaxaxshaxBaxchaxaxshaxB)cossincossin(axchaxBaxchaxBaxshaxBaxshaxBEIM432122)cossin()sincos(axshaxaxchaxBaxshaxaxchaxB43把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径。用初参数表示积分常数弹性地基梁作用的初参数00000000QQMMyyxxxx梁左端边界条件：02403030302012141214121MEIBQEIBQEIByB得到积分常数：44EIkb其中：1040320202010430320320430104040320201022214222221QMbkbkyQQMbkbkyMbkQbkMybkQbkMyy用初参数表示的齐次微分方程的解：axshaxaxchaxaxshaxaxshaxaxchaxaxchaxcossinsincossincos4321其中：微分关系为：12412dddd34232dddd弹性地基梁已知初参数A端边界条件待求初参数自由端M0=0Q0=0M0=-mQ0=-P1MA=0QA=0MA=0QA=P2θ0y0θ0y0简支端M0=0y0=0M0=m1y0=0MA=0yA=0MA=m2yA=0θ0Q0θ0Q0实际工程中常遇到的支座形式与荷载作用下梁端参数的值固定端θ0=0y0=0θ0=0y0=0θA=0yA=0θA=0yA=0M0Q0M0Q0弹性固定端y0=0yA=0θ0=M0β0M0Q0弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解集中荷载作用下的特解项集中力作用于地基梁a.集中力Pi作用下的特解项OA和AB段挠曲微分方程分别为：04042442414414ydxydydxyd'2214032020101bkQbkMyy--Pyyy12)()()()(pApApApApxxbkQxxbkMxxxxyy413212111221iAAAApQMy11110,04444PPydxyd'由A点的变形连续条件和受力情况有：当时，特解项为零。pxx)()()()(ppppxxiPxxiPxxiPxxiPPQPMbkPbkPy------12324212pxx≥当时，b.集中力偶Mi作用下的特解项集中力偶作用于地基梁mxximxximxximxxmxxmQmMbkmbkmymmmm≥-------)()()()(41233222mxx当时，取特解项为零。分布荷载作用下的特解项分布荷载作用于地基梁分布荷载可分解成多个集中力，按集中力求解特项。xxdubkaqyauxq)(-4荷载在右边截面x处引起的挠度特解项为：)(uxybkaqdud-42x截面以左所有荷载引起的挠度特解项为：a.均布荷载)()()()(aaaaxxqxxqxxqxxqqQqMbkbkqy-------222412221baxxx荷载均布与ab段],[xxa（积分限）)()()()()()()()(ababababxxxxqxxxxqxxxxqxxxxqqQqMbkbkqy--------------223324411222bxx],[baxx（积分限）当荷载满跨均布时，积分限是（0，x），故有：232412221qQqMbkbkqyqqqq---b.三角形分布荷载三角形荷载作用于地基梁qxxxuqabau--∫-xxuxuqadubkqy)(4微段上荷载引起的挠度附加项为：)()()()()()(aaaaxxabqxxabqxxabqxxaabqxxqQxxqMbkxxqxxxxkqy---------32231221411121baxxx当时，积分限是，],[xxa)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(abbabbabbabbxxxxxxababqxxxxxxababqxxxxxxababqxxxxxxababqxxxxqQxxxxqMxxxxkqxxxxkqy33244321142212122122121--bxx当时，积分限是，],[baxx32431224121lqQlqMkblqxkblqyqqqq--当三角形荷载布满全跨时，积分限是（0，x）有：c.梁全跨布满梯形荷载的特解项梯形荷载作用于地基梁•只须把均布荷载与三角形荷载作用下两式叠加即可。23241324312222124121qQqMbkbkqylqQlqMkblqxkblqyqqqqqqqq-----共同作用下挠曲微分方程的通解qqMpQMyii、、、、、、、0000综合荷载作用于地基梁302201022bkMyy)()(21211-xbklqbkq)()(mpxxixxibkmbkPbkQ--324402302203104022bkQbkMy)(1412-bklqbkq)()(mpxxixxibkmpbk--2332220y)(pxxiPQMbkbkyM-220104303202242433242lqqmmxxii)(-)(pxxiPQMbkbkyQ-110403202022322422lqqmmxxi)(-302201022bkMyy)()(21211-xbklqbkq)()(mpxxixxibkmbkPbkQ--324402302203104022bkQbkMy)(1412-bklqbkq)()(mpxxixxibkmpbk--2332223.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁弹性地基梁的分类（a）短梁（b）无限长梁（c）半无限长梁（d）刚性梁换算长度aL44EIkb长梁的计算无限长梁作用集中力Pi的计算无限长梁作用集中力的计算采用梁挠曲方程齐次解式，即：)sincos()sincos(axAaxAeaxAaxAeyaxax43210xy由有：021AA由对称条件有：0xdxdyAAA43考虑地基反力与外载的平衡条件：iaxPdxaxaxekbA)sin(cos02kbaPAi2化简得到：其中：)sin(cosaxaxekbaPyaxi2无限梁右半部分有：65827242iiiiPQPMkbPkbPy其中：axeaxaxeaxeaxaxeaxaxaxaxsin)sin(coscos)sin(cos8765对于梁的左半部分，只需将式中和改变负号即可。Q无限长梁在集中力偶mi作用下的计算无限长梁作用集中力偶的计算2000ixxmMy反对称条件：0321AAAbkmAi24代入齐次微分方程通解得：无限长梁右半部分的变形及内力为：76538222iiiimQmMkbmkbmy对于左半部分，只需将上式中y与M变号即可。半无限长梁作用初参数的计算半无限长梁作用的初参数0xyaxshaxBaxshaBaxchaxBaxchaxBysincossincos4321将代