GARCH类模型波动率预测效果评价_以沪铜期货为例

27■管理学GARCH类模型波动率预测效果评价——以沪铜期货为例赵伟雄，崔海蓉，何建敏（东南大学经济管理学院，江苏南京，211189）摘要：以沪铜期货为例，研究了GARCH、EGARCH、FIGARCH和FIEGARCH四种模型的波动率预测效果。以已实现波动率为模型评价衡量标准，分别采用M-Z回归和损失函数进行预测效果检验，结果表明，无论残差服从高斯分布还是t-分布，不同的GARCH类模型预测效果有显著差异，其中FIGARCH模型预测效果最好，其次是GARCH模型，EGARCH和FIEGARCH模型预测效果不佳。此结论说明我国铜期货市场具有显著的长记忆性，但不具有非对称效应。关键词：GARCH类模型；波动率；预测；评价中图分类号：F830.9文献标识码：A文章编号：1008-472X(2010)04-0027-06收稿日期：2010-04-23基金项目：国家自然科学基金项目《流动性调整期望损失La-ES和最优变现策略》（70671025）作者简介：赵伟雄（1976—），男，江苏南京人，东南大学经济管理学院，博士研究生，金融工程。崔海蓉（1977—），女，江苏徐州人，东南大学经济管理学院，博士研究生，金融工程。一、引言波动率是金融经济研究中的重要变量之一。对波动率的预测在近20年来吸引着无数学者与业内人士的关注。目前预测波动率的方法主要有四种：传统标准差估计；GARCH类模型；隐含波动率；以及最近几年开始流行的随机波动率模型（SV）。衡量这些模型预测能力的标准通常为两方面：样本内预测的表现以及样本外预测的表现。经验表明由Engel发展起来的GARCH类模型通常对样本内预测表现较好，但对GARCH类模型的样本外预测能力，学者们意见不尽相同。Bollerslev等人，Figlewski以及Poon和Granger认为GARCH类模型的样本外预测能力表现不佳[1-3]。然而Sadorsky和Agnolucci对石油期货进行研究认为GARCH类模型样本外预测能力优于隐含波动率[4-5]。国内学者的研究多集中在股市或股指。黄海南和钟伟对GARCH类模型的预测效果进行了评价，认为无论是样本内还是样本外，GARCH类模型都能够较好预测上证指数的收益率波动[6]14-19。郑振龙和黄薏舟以香港恒生指数为研究对象，认为GARCH模型在预测较短时期时(如一周)优于隐含波动率，但当预测较长时期(如一个月)时则表现欠佳[7]140-150。刘铁鹰和田波平运用GARCH类模型和状态空间模型对上证指数收益率进行预测，认为GARCH类模型预测效果较好[8]。少部分学者对我国期货市场进行研究，魏宇对沪深300股指期货仿真交易数据研究发现，常用的GARCH模型以及加入已实现波动率估计作为附加解释变量的扩展GARCH模型(GARCH-RV)都无法对沪深300股指期货的波动作出令人满意的预测[9]。巩兰杰和张龙斌认为加入基差的GARCH模型能够增强其对沪铜期货的预测能力[10]。本文以已实现波动率为模型评价基准，运用M-Z回归以及损失函数全面评价GARCH类模型对沪铜期货波动率的预测表现。二、模型简介（一）GARCH模型Bollerslev提出的GARCH模型如下[11]：'tttyXδε=+（1）2010年7月西安电子科技大学学报（社会科学版）Jul.2010第20卷第4期JournalofXidianUniversity(SocialScienceEdition)Vol.20No.42822011pqtitiitjijhhααεβ−−===++∑∑（2）其中（1）是均值方程，ty是应变量，tX是解释变量或ty的滞后项，δ是待估参数向量，（2）是条件方差方程，21()tttthVarσε−==。（二）EGARCH模型GARCH模型只能反应金融时间序列的厚尾和波动聚集现象，不能反映非对称性（asymmetry）。为克服此弱点，Nelson提出指数GARCH，即EGARCH模型：011||pqtiititijtjijtihhεγεααβσ−−−==−+=++∑∑（3）其中2logtthσ=。0iγ=表明不存在非对称性，0iγ表明存在非对称性，但利空消息冲击更加激烈，0iγ，则利好消息冲击更加激烈。（三）FIGARCH模型随着研究的深入，波动率的长记忆性引起关注，Bollerslev和Mikkelsen提出FIGARCH模型以从条件方差反映序列的长记忆特征[12]151-171。FIGARCH(p,d,q)模型定义如下：{}1120[1(1)]1[1()]()(1)dtthLLLβββφε−−=−+−−−（4）其中[0,1]d∈是分数差分算子，若(0,1)d∈，则说明长记忆性存在，()1()()LLLφαβ=−−，212()...qqLLLLαααα=+++，212()...ppLLLLββββ=+++分别为滞后算子多项式，且()Lφ和[1()]Lβ−的所有根都位于单位圆外。可以看出，当0d=时，FIGARCH(p,d,q)就是GARCH模型。（四）FIEGARCH模型EGARCH模型可以很好体现金融价格波动的非对称性，并且以条件方差的对数形式确保ht取正值，使模型更加稳定，BollerslevandMikkelsen进一步提出FIEGARCH模型，以同时反映金融时间序列的长记忆性和非对称性[12]172-184，形式如下：01()(1)ln(||)qdtitiitiiLLhxxφββγ−−=−=++∑（5）其中tttxhε=是标准化残差，0iγ=表明不存在非对称性，0iγ表明存在非对称性，但利空消息冲击更加激烈，0iγ，则利好消息冲击更加激烈。FIEGARCH模型在0d1时是稳定的。（五）已实现波动率已实现波动率()REσ用来衡量GARCH类模型的预测能力，是根据被预测期内日收益率的标准差计算的。设对数收益率为1lnlntttRSS−=−，则21111(),()nnREiiiirrrrnnσ===−=∑∑（6）其中，n为预测样本区间的实际交易天数。为便于比较，对所有获得的已实现波动率转化为周波动率，一周按5天来计。（六）预测效果检验：M-Z回归检验GARCH类模型预测效果的最流行方法就是M-Z回归，相应的回归方程为：22tttσαβσε=++（7）其中，iσ为已实现波动率，iσ为预测波动率。如果模型设定正确，则22()ttEσσ=，这意味着，0α=，1β=，回归拟合优度R2可以测度GARCH类模型的预测效果。（七）预测效果检验：损失函数损失函数是用来检验模型预测效果的。本文采用MSE（MeanSquaredError），MAE（MeanAbsoluteError），RMSE（RootMeanSquaredError）以及MAPE（MeanAbsolutePercentageError）等4个损失函数来检验预测效果。各个损失函数的值越小，表明预测效果越好。2922211()NiiiMSENσσ==−∑（8）22211||NiiiMAENσσ==−∑（9）1222211()NiiiRMSENσσ==−∑（10）11|1|NiiiMAPENσσ==−∑（11）其中，iσ为已实现波动率，iσ为预测波动率。三、数据上海铜期货市场经过几十年的规范运作，已经具备了全球铜价“话语权”，被公认为全球三大铜交易中心之一，因此选取铜期货日收盘价作为研究样本。由于每个期货合约一旦到期将不复存在，因此期货价格不同于股票价格具有连续性特点。为此本文按照如下方法选取数据：铜期货每年有从1月到12月交割共12个合约，一般临近交割月的交易较为活跃，故选取每个合约交割月的滞后第三个月的数据作为样本选取对象，以此类推。例如2007年1月的数据从2007年4月交割的合约中选取，2007年2月的数据从2007年5月交割的合约中选取。最终选取的期货数据不仅具有连续性特点，而且每次选取数据的日期全部控制在临近交割月的前三个月内，此时期货价格与现货价格较贴近，数据较稳定。由于2005年之前，我国期货市场不稳定，因此选取时间跨度为2005年1月4日至2009年12月31日，总数为1186（除去无交易日），数据来源于弘业期货经纪有限公司。大量研究表明，GARCH类模型通常适合较短时期的波动率预测，因此本文用周波动率作为比较对象。估计GARCH类模型参数时采用滚动估计的方法，即对要预测的每一周分别选取该周之前两年内的日收益率数据建立GARCH类模型逐个进行预测，而非建立一个模型对所有周的波动率进行预测[7]140-150。这是因为不同时间段的估计模型有所不同，如果只用一个模型去预测未来几年各周的波动率，会大大降低模型的预测能力。另外，用日数据建立的GARCH类模型预测的是每日收益率的方差，要得到未来一周的波动率，需要首先预测未来一周中每天收益率的方差，然后加总后取平方根。定义期货价格收益率为Rt=ln(St/St-1)，其中St为第t个交易日连续期货合约的收盘价格。样本数据基本统计特征如表1。从表1可看出铜期货价格收益率不满足正态分布。表1：铜期货价格收益序列的基本统计特征铜样本数1186均值0.0010标准差0.0183峰值3.1025偏度-0.3204JB统计量2.6910P值0.0000四、实证分析（一）模型估计1.数据检验分别对数据进行单位根检验、ARCH效应检验和自相关检验。单位根检验采用ADF方法，结果为收益率序列，属于平稳时间序列。利用LM方法对不同的滞后阶数进行ARCH效应检验，结果ARCH30效果显著。根据ACF图可以判断收益率序列本身自相关特性不明显，但收益率序列的平方存在显著的自相关特性。这说明铜期货收益率序列可能存在随时间改变的条件异方差[13]。由于收益率本身自相关性并不明显，因此在以下模型估计中，假设均值方程为ttRcε=+。2.高斯误差的GARCH类模型我们用极大似然法估计GARCH类模型参数，首先假设残差服从标准高斯分布。大量实证研究表明，描述金融时间序列p=q=1就足够了，因此在对模型参数进行估计时，首先选取p=q=1。若模型中的系数GARCH(1)在5%的水平上不显著，或即使显著但ARCH(1)与GARCH(1)之和大于1，则说明模型不稳定，此时调整p和q的值，并根据AIC和BIC准则确定最优参数。估计对应的时间段为2007年1月4日到2009年12月31日，共145周。由于使用的是滚动估计法，因此应获得145组估计结果，每一组都包含GARCH、EGARCH、FIGARCH和FIEGARCH四个模型。在所有模型类别中，最长见到的还是p=q=1的模型，其中113组EGARCH和FIEGARCH估计模型非对称效应系数在10%的水平上不显著，此结果说明，铜期货具有长记忆性，但非对称效应不明显。最终获得的所有模型中Ljung-BoxQ统计量检验显示标准化残差没有前后相关性。最后用Engle和Ng提出的指示偏误检验（SignBiasTest，SBT）来检验所有估计模型设定是否有误，指示偏误检验主要考察模型之外的其他可观测变量是否能够预测波动率，如果能够预测，则模型设定有误。结果显示，所有模型检验都不显著，这说明模型以外的可观测变量不能预测波动率，从而意味着模型设定是正确的，因此指示偏误检验不能帮助我们选择适当的模型[6]14-19。表2显示已实现周波动率以及采用GARCH、EGARCH、FIGARCH和FIEGARCH四个模型预测的周波动率统计特征。从各模型预测结果来看，四个模型的预测波动率均值偏离已实现周波动率均值的程度都较远，这说明短期预测通常较难。表2：高斯分布下波动率统计特征周波动率均值标准差中位数最小值最大值REσ0.03200.11610.01350.00710.2346GARCHσ0.03750.13220.02320.00350.1188EGARCHσ0.03860.29910.01480.00480.1245FIGARCHσ0.03940.14440.01980.00430.3445FIEGARCHσ0.04110.23550.01420.0081