广义兔子数列通项公式探究

广义兔子数列通项公式探究梁辉中学黄俊淇摘要：定义并讨论广义斐波那契数列的通项公式，以此可简单的求出各种类兔子数列的通项公式和各项数值。关键词：斐波那契数列、广义、通项公式引言：斐波那契数列（Fibonaccisequence），指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……其中21nnnaaa（n≥2，n∈N*）。斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci）。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，所以又称黄金分割数列。斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。兔子数列的通项公式为：)])251()251[(51nnna。具体推算过程这里就不再赘述，那么当数列中的21,aa是其他常数而不是1的时候，或者na和1na、2na之间的递推关系并不是简单的1倍之和的时候，数列的通项公式又将是什么样子的呢？所以我们需要将兔子数列的定义范畴扩大来进行探究。正文：定义广义斐波那契数列：所有根据前两项导出第三项的通用规则的数列：21nnnqapaa，（n≥2，n∈N*）称为广义斐波那契数列。现在我们来探究广义斐波那契数列的通项公式。设：)(211nnnnaaa，其中pq。,为关于x的一元二次方程02qpxx的解。24,2qpp设数列1nnnaab，则211nnnaab……122aab。∴数列nb为首项为2b，公比为的等比数列。∴22nnbb∴2121)(nnnaaaa…………①由于,地位相同，也可以得到)(211nnnnaaa同理可得：2121)(nnnaaaa…………②①×－②×可得112112)()(nnnaaaaa，其中24,2qpp为广义兔子数列的通项公式。数列中的21,aa为已知常数。当△=qp42＞0时，,为不相等的两个实数根。当△=qp42＜0时，,为不相等的两个虚数根。（不影响通式的计算）当△=qp42＝0时，,为相等的两个实数根。这个时候通项公式的分母等于0，会导致无意义的情况出现，显然通项公式在时是不成立的。当时，2p、2q，数列的递推公式为：2212nnnaaa我们这里用先猜想再证明的方法求解通项公式，先假设21，1,121aa……则2141nnnaaa可计算165,21,43543aaa……将它们的分母转化后即可发现规律。猜想：12nnna，我们可以用数学归纳法证明，这里就不展开了。以此为依据猜想广义兔子数列21nnnqapaa，（n≥2，n∈N*），当qp42＝0时，即递推公式为：2212nnnaaa时，通项公式为：1)(nnbkna当1n时，bka1；当2n时，)2(2bka解这个二元一次方程组可得：12aak212aab∴得到22112]2)[(nnaanaaa我们用数学归纳法进行证明：当1n时，11aa成立。当2n时，22aa成立。假设当1mn和mn时，通项公式成立。那么当1mn时：1212mmmaaa32112222112]2)1)([(]2)[(2mmaamaaaamaa12112]2)1)([(maamaa∴当1mn时，通项公式也成立。∴22112]2)[(nnaanaaa成立。（证毕）我们也可以用代数运算的方法得到通项公式2212nnnaaa{1}式32212nnnaaa{2}式42322nnnaaa{3}式…………………………………………mnmnmnaaa2122{m-1}式1212mnmnmnaaa{m}式2212mnmnmnaaa{m+1}式…………………………………………32452aaa{n-4}式22342aaa{n-3}式12232aaa{n-2}式其中32nm，当{1}式×01+{2}式×12+{3}式×23……+{m-1}式×2)1(mm+{m}式×1mm+{m+1}式×mm)1(……+{n-4}式×5)4(nn+{n-3}式×4)3(nn+{n-2}式×3)2(nn时，左边有关mna的项为：mnmam)1(右边有关mna的项为：mnmmnmamam221)1(2＝mnmam)1(∴左边＝右边，即mna都合并为0∴112222)2()2(2)3(anananannnn22112]2)[(naanaa证毕结束语：广义斐波那契数列21nnnqapaa，（n≥2，n∈N*）通项公式为：112112)()(nnnaaaaa其中24,2qpp当△=qp42≠0时，通项公式都有意义。当△=qp42＝0时：通项公式为：22112]2)[(nnaanaaa其中2p、2q，特别地，当1时，成为了简单的等差数列。当p、q分别取各种不同数值的时候形成各种不同的数列，包括卢卡斯数列、佩尔—勾股弦数等等。参考文献：《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》人民教育出版社2010《初等数列》哈尔滨工业大学出版社2014版《关于数学归纳法的逻辑基础》陕西师范大学罗增儒2011《广义斐波那契数列》孔宪明山东泰山学院2007