广义积分习题课

第十一次习题课讨论题解答本次习题课主要讨论广义积分的计算及其收敛性判定。具体有三方面的内容：一.广义积分计算二.广义积分的收敛性判定三.三个重要的广义积分两点说明：（1）为了判断广义积分dxxfJI)(:的收敛性，我们常常将被积函数)(xf作分解)()()(21xfxfxf，使得广义积分dxxJI1)(g:和dxxfJI22)(:的收敛性比较容易判断。根据积分1J和2J的收敛性，我们可以确定积分J的收敛性。具体有如下结论：（i）如果积分1J和2J都收敛，则积分dxxfI)(也收敛。（ii）如果积分1J和2J一个收敛，一个发散，则积分J发散。（iii）如果两个积分都发散，则积分J收敛性尚不能确定。此时只能说分解式)()()(21xfxfxf不管用。例：广义积分111222cos2sindxxxxdxdxxx。（2）对于正常积分，积分dxxfba)(存在意味着badxxf)(存在；反之不然。而对于广义积分情形则刚好相反：广义积分dxxfI)(存在（收敛）意味着dxxfI)(存在（收敛），反之不然。一．计算下列广义积分说明：以下广义积分的收敛性不难证明，故略去。但同学们自己作为练习应该考虑。题1.baxbaxdxI))((，其中ab。解：对于],[bax，我们又等式1abxbabax，且0abax，0abxb。受此启发，我们作变换tabax2sin，于是tabxb2cos，且ttdxcossin2。因此2/02dtI。解答完毕。注：值得注意的是，这个积分的值与上下限a和b无关。题2．031xdx解：注意1x时2311110xx，由此可以判断所求无穷积分收敛。为计算积分，可以利用有理函数积分法：)1)(1(123xxxx，……（较繁琐）。另解：原式=110，在其中无穷积分中引入积分变量代换tx/1：dxxxdttttdttxdx10310301231311)(111，原式化为两个普通积分的和，且都在]1,0[区间上：原式=1022102103)2/3()2/1(111xdxxxdxdxxx332))31arctan(31(arctan323)2/1(2arctan3210x。解答完毕。题3．02)1)(1(axxdxI，其中0a。解：将积分分成两个部分1021)1)(1(:axxdxI和122)1)(1(:axxdxI对积分1I作变换yx/1得12121)1)(1()1)(1(aaaaxxdxxxydyyI。于是122141xdxIII。解答完毕。（注：积分值与参数值a无关）题4．04211dxxx（有理函数积分或者变量代换）解法一：0222042)21)(21(111dxxxxxxdxxx022)211211(21dxxxxx2)222arctan222arctan(210xx。解法二：令xxt1（评：这变换有点怪异，很难想到。这样的特别技巧并不是很多，我们最好都能记住），则dxxdt)11(2，且0x时-t，x时t，此外21)1(2222xxxxt，2//1/1111222242tdxdtxxxxx22arctan212112042ttdtdxxx。解答完毕。二、判断广义积分的收敛性题1．0)1ln(dxxxp解：该积分既有奇点0x，又是无穷区间上积分，是混合型的广义积分。需要分别处理。在奇点0x附近11~)1ln(ppxxx，所以10)1ln(dxxxp仅当2p时收敛。以下考察无穷积分1)1ln(dxxxp的收敛性。当1p时，取0充分小，使得1p，从而11dxxp收敛，而且0)1ln(lim)1ln(limxxxxxxppx，这说明1)1ln(dxxxp收敛；当1p时，)1ln(lim)1ln(lim1xxxxxpxpx，由于11dxx发散，所以1)1ln(dxxxp发散。综上，当且仅当21p时，积分0)1ln(dxxxp收敛。解答完毕。题2．01dxxx，其中0。解：当0被积函数没有奇点，当0时，0x为奇点，这时xxx1~1（0x），可见当且仅当1时，积分101dxxx收敛；为考察无穷积分11dxxx，注意无论的符号如何，都有xxx1~1（x）。由此可见仅当1时积分11dxxx收敛。综上，当且仅当1，且1时，积分01dxxx收敛。解答完毕。题3.02sindxxxp（第六章复习题题2（1），p.206）解：先考积分在奇点0x处的收敛性。我们将被积函数写作222sin1sinxxxxxpp。由此可见，积分在点0x处的收敛，当且仅当12p，即3p。我们再来考虑积分在无穷远处的收敛性。我们将被积函数写作pppxxxxx22cos21sin2。显然积分121dxxp收敛，当且仅当1p而积分122cosdxxxp收敛，当且仅当0p。由此可知积分12sindxxxp收敛，当且仅当1p。综上所述，积分02sindxxxp收敛，当且仅当31p。解答完毕。题4.13)cos(dxxx。（习题6.2题9（2），p.206）解：对积分作变量替换3xy，我们得到313/113cos31)cos(AAdyyydxxx。由此可见，积分为条件收敛。解答完毕。注：对于无穷区间型的广义积分而言，积分收敛，并不意味着被积函数有界，当然更遑论被积函数有趋向于零的极限。题5.01sinsindxxx（第六章复习题题3，p.206）解：注意被积函数没有有限奇点，而在x时x1sin单调减趋于0。根据Dirichlet判别法可知积分收敛。我们进一步积分的绝对收敛性。注意当x时，xx1~1sin。从而存在1A，使得Ax时xx211sin。于是xxxxx22cos212sinx1sinxsin2。由此可知积分0|1sinsin|dxxx发散。综上可知原广义积分条件收敛。解答完毕。题6.讨论如下广义积分的绝对收敛性和条件收敛性,其中0p。(i)221)sin(xsindxxxxIpp(ii)22sinsindxxxxIp(iii)03sinsindxxxxIp解：（i）由于被积函数为非负的，因此它收敛即为绝对收敛。当2/1p时，根据不等式)1(1)sin(sin2ppppxxxxxx，可知积分1I收敛。当2/10p时，根据不等式)sin(sin)1(sin1x22cos)1(2122xxxxxxxxxxxpppppppp）（可知积分1I发散。（ii）我们将积分2I的被积函数作如下表示)sin(sinsinsinsin2pxxxxxxxxxppp，因为右边的两个函数的收敛性比较容易判断。不难看出广义积分2psindxxx对任意0p均收敛。再根据结论（i），我们可以断言，积分2I收敛，当且仅当2/1p时。再来考虑绝对收敛性。当10p时，根据不等式12cos11211sinsin|sin|2ppppxxxxxxxx，我们可以断言2sin|sin|dxxxxp发散。当1p时，根据不等式11sin|sin|ppxxxx，我们可以断言2sin|sin|dxxxxp收敛。于是积分2I条件收敛，当且仅当12/1p；积分2I绝对收敛，当且仅当1p。（iii）注意对于任意0p，1p0,01p,2/11p,1sinsinlimp0xxxx这表明点0x并不是被积函数的奇点。因此积分3I与积分2I的收敛性相同，即积分3I条件收敛，当且仅当12/1p；积分3I绝对收敛，当且仅当1p。解答完毕。三．三个重要的广义积分（1）计算Euler积分dxxIcosln2/0。（2）计算Froullani广义积分dxxbxfaxf)()(0（3）证明概率积分（也称Euler-Poisson积分）202dxex。（证明有点长，已超出要求，可略去。但证明不超出我们所学，也不难懂。）（1）.(课本第六章总复习题9，p.207)计算Euler积分dxxIcosln2/0。提示：用配对法求积分值。考虑另一个积分dxxJsinln2/0。解：易见2/x是Euler积分的瑕点。这里我们略去证明收敛性的证明（不难），只专注如何求出积分I的值。我们尝试用配对法来求积分值。考虑相关积分dxxJsinln2/0。不难证明这两个积分相等，即JI。于是我们有2/02/02/0sincoslnsinlncosln2dxxxdxxdxxI2/02sinln2ln2xdx。对于积分dxx2sinln2/0，作变量替换得02/0sinln212sinlndyydxx。显然2/00sinln2sinlndxxdxx。由此得IdxxI2ln22sinln2ln222/0。于是2ln2I。解答完毕。注：可利用上述Euler积分计算以下积分的值i)dxxxtan2/0ii)dxxxsinln2/0iii)dxxxsin2/02iv)dxxxsinlnsin2/02（2）设函数)(xf在),0[上连续且极限)(limxfx存在，记作)(f。证明Froullani广义积分abffdxxbxfaxfln)(0)()(0）（，其中a，b为两个正数。提示：将积分分成两部分之和21III，这两个部分分别为从0到1和1到的积分。对于积分1I，考虑从到1的积分，将被积函数拆开，并作适当的变量替换。对于积分2I可作类似处理。证明：我们将积分I分为两个部分21III，dxxbxfaxfI)()(101，dxxbxfaxfI)()(12。考虑1I。对于任意）（1,0，我们有bbaaduuufduuufdxxbxfdxxaxfdxxbxfaxf)()()()(111）（）（baaduuufduuuf)()(b。而abfabfduuduuufbaaln)0(ln)(1)(f)(b，0。因此baduuufabfdxxbxfaxfdxxbxfaxfI)(ln)0()()(lim)()(10101。考虑2I。对于任意1A，我们类似有bAaAbduuufdxuufdxxbxfaxf)()()(aA1）（。而bAaAAAbAaAabfabfudufduuufln)(ln)()()(，A。故abfduuufdxxbxfaxfIbaAAln)()()()(lim12。因此原积分为abfIIln)()0(fI21。证毕。注1：我们可以直接对积分dxxbxfaxfR)()(r作分拆，然后分别做变量替换。然后令R和0r，得到相同的结论。这样处理更简洁。注2：利用上述Froullani积分，同学们可以计算如下积分，其中a，b为两个正数。i）dxxbxxarctanaarctan