广州市2016届高三上学期五校联考(理数)

1广州市2016届高三上学期五校联考数学（理科）本试卷共4页，24小题（其中22，23，24是选作题），满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回．参考公式：①锥体的体积公式13VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．②方差2222121[()()()]nsxxxxxxn，其中x为样本12,,,nxxx的平均数．一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,2}A，{1,}Bm．若ABB，则实数m的值是(）．A．0B．2C．0或2D．0或1或22.在复平面内，复数22i对应的点位于(）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是(）．A．5个B．4个C．3个D．2个4．已知双曲线1:2222byaxC的焦距为10，点)1,2(P在C的一条渐近线上，则C的方程为(）．A．152022yxB．120522yxC．1208022yxD．1802022yx5.已知函数2()2fxxxm，在区间2,4上随机取一个实数x，若事件“0fx”发生的概率为23，则m的值为(）．A．2B．2C．3D．326.已知实数,xy满足约束条件00220yxyxy，则11yzx的取值范围是(）．A．11,3B．11,23C．1,2D．1,127．函数()2sin(),(0,)22fxx的部分图象如图所示,则,的值分别是(）．A．2,3B．2,6C．4,6D．4,38．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是59，则(）．A．4aB．5aC．6aD．7a9．已知数列na的首项12a，数列nb为等比数列，且1nnnaba，若10112bb，则21a(）．A．92B．102C．112D．12210.设点,,ABC为球O的球面上三点，O为球心．球O的表面积为100，且ABC是边长为43的正三角形，则三棱锥OABC的体积为(）．A．12B．123C.243D.36311.已知RtAOB的面积为1，O为直角顶点，设向量||OAaOA，||OBbOB，2OPab，则PAPB的最大值为(）．A．1B．2C.3D.412.定义在R上的函数()fx满足：()1()fxfx，(0)6f，()fx是()fx的导函数，则不等式()5xxefxe（其中e为自然对数的底数）的解集为(）．A．0,B．,03,UC．,01,UD．3,二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若26()baxx的展开式中3x项的系数为20，则ba22loglog．开始S=1，k=1ka?S=S+1k(k+1)k=k+1输出S结束是否314．函数4cossin16fxxx（xR）的最大值为．15．已知函数222,0()2,0xxxfxxxx，若2(3)(2)fafa，则实数a的取值范围是．16．在ABC中，1)sin(AC，31sinB，则Asin．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本题满分12分）已知等差数列na的前n项和为nS，且364aa，55S.（1）求数列na的通项公式；（2）若123nnTaaaa，求5T的值和nT的表达式.18.（本小题满分12分）2.5PM是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国2.5PM标准采用世卫组织设定的最宽限值．即2.5PM日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米——75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的2.5PM监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如下茎叶图所示．(l)根据样本数据估计今年9月份该市区每天2.5PM的平均值和方差；(2)从所抽样的6天中任意抽取三天，记表示抽取的三天中空气质量为二级的天数，求的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABCABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，1AA平面ABC，点E是AB的中点，CE∥平面1ABD.（1）求证：点D是1CC的中点；（2）若BDDA1时，求平面1ABD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值.茎叶26306445060A1C1B1DCBAE420．（本小题满分12分）已知椭圆1:2222byaxC)0(ba的右焦点)0,1(F，且经过点)453,21(P.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相切，过F作lFQ，垂足为Q，求证：OQ为定值（其中O为坐标原点）.21．（本小题满分12分）已知函数()lnxafxx，其中a为实数．(1)当2a时，求曲线()yfx在点))2(,2(f处的切线方程；(2)是否存在实数a，使得对任意(0,1)1,x，()fxx恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲[Z§xx§k.Com]如图所示，AC为⊙O的直径，D为圆弧BC的中点，E为弦BC的中点.（1）求证：//DEAB；（2）求证：2ACBCADCD.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，已知曲线2=cos=sin1:xCy（为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:cos()42C，曲线3:2sinC．（l）求曲线1C与2C的交点M的直角坐标；（2）设点AB,分别为曲线2C，3C上的动点，求AB的最小值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知48fxaxax，aR．（1）当2a时，解不等式2fx；（2）若fxk恒成立，求k的取值范围.[科网ZXXK]5数学（理科）参考答案一.CDBADDAACBAA二.13．0；14．2；15．13，；16．3317．解：（1）27nan，)(Nn.…5分；（2）27072nnan，即：3n所以：当3n时，270nan，当4n时，270nan………6分nnSn62，93S，55S所以：5T1234535353()()213aaaaaSSSSS………8分3n时，nnTS26nn；4n时，2333()2618nnnTSSSSSnn.即226,3,618,4,nnnnTnnn)(Nn.………12分18.解：（1）263036445060416x22222221[(2641)(3041)(3641)(4441)(5041)(6041)]1376s………4分根据样本估计今年9月份该市区每天2.5PM的平均值为：41微克／立方米，方差为137。………5分[网]（2）从茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则可能取的值为1,2,3，其中，1242361(1)5CCPC，2142363(2)5CCPC，3042361(3)5CCPC…10分所以的分布列为131()1232555E，的数学期望为2。………12分19．证明：（1）取11BA的中点F，连结1FC，EF，设GBAEF1………1分由作图过程易得：四边形1CEFC为平行四边形，1//AAEG6在BAA1中，点E是AB的中点，点G是BA1的中点，112121CCAAEG………3分又CE∥平面1ABD.CE平面1EFCC，且平面1EFCC平面1ABDDGCEDG//，又CDEG//四边形CEGD为平行四边形，121CCEGCD点D是1CC的中点。………6分（2）由（1）知1//AAEF，又1AA平面ABCEF平面ABC又ABC是边长为2的等边三角形，点E是AB的中点，ABCE且3CE如图建立空间直角坐标系xyzE，设hEF2，………7分则)0,0,1(B，)0,3,0(C，)2,0,0(hF，)2,0,1(1hA，),3,0(hD),3,1(1hDA，(1,3,)BDh，由1ADBD可知：10ADBD2h………8分由z轴平面ABC可得：平面ABC的一个法向量(0,0,1)m………9分设平面1ABD的一个法向量为(,,)nxyz，由100BAnBDn得：2220320xzxyz令2x，则(2,0,1)n，………10分3cos,3mnmnmn，………11分所以，平面1ABD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为33………12分20．解：（1）由题意可设椭圆C的左焦点为)0,1(F，则半焦距1c………1分由椭圆定义可知：24aPFPF所以2a，3222cab，所以椭圆C的方程为13422yx………4分（2）①当直线l的斜率不存在时，l的方程为：2x，)0,2(Q或)0,2(Q，此时2OQ；FGA1C1B1DCBAEzxy7②当直线l的斜率为0时，l的方程为：3y，)3,1(Q或)3,1(Q，此时2OQ；…5分③当直线l的斜率存在且不为0时，设为k，其方程可设为mkxy（0k）lFQ，直线FQ的方程可设为：)1(1xky由124322yxmkxy消去y可得：01248)43(222mkmxxk………6分直线l与椭圆C相切，0)124)(43(4)8(222mkkm整理得：3422km（*）………7分由)1(1xkymkxy，解得)1,11(22kmkkkmQ………9分所以OQ2222222222)1(1)1()11(kmkmkkmkkkm将（*）式代入：OQ2)1()12(42224kkk综上所述：2OQ，OQ为定值.……12分21．解：⑴2a时，xxxfln2)(，xxxxxxf2ln2ln)(，………1分2ln1)2(f，又0)2(f，所以切线方程为)2(2ln1xy.………4分⑵①当10x时，0lnx，则xxaxlnxxxaln令xxxxgln)(，xxxxg2ln22)(，………6分再令xxxhln22)(，0111)(xxxxxh当10x时0)(xh，∴)(xh在)1,0(上递减，∴当10x时，0)1()(hxh，∴02)()(xxhxg，所以)(xg在)1,0(上递增，1)1()(gxg，所以1a…8分8②1x时，0lnx，则xxaxlnxxxaln