教学设计 必修一：2.1.3 函数的单调性

-1-示范教案整体设计教学分析在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容．实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出．而本节内容，正是初中有关内容的深化和提高．给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了．由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性．还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解．三维目标1．函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质．2．理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力．3．能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性．重点难点教学重点：函数的单调性．教学难点：增函数、减函数形式化定义的形成．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(HermannEbbinghaus,1850～1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵．经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准．他经过对自己的测试，得到了一些数据．时间间隔t0分钟20分钟60分钟8～9小时1天2天6天一个月记忆量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数．当自变量(时间间隔t)逐渐增大时，你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线)．从左向右看，图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通-2-过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图象)学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为横轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如下图所示．遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律．随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆．教师提示、点拨，并引出本节课题．思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌．按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？学生回答(只要大于32就可以算准确)，教师：提示、点拨，并引出本节课题．推进新课新知探究提出问题①如下图所示的函数y＝x，y＝x2，y＝－x2的图象，它们的图象有什么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？②函数图象上任意点P(x，y)的坐标有什么意义？③如何理解图象是上升的？④对于函数y＝x2，列出x，y的对应值表(如下表)．完成下表并体会图象在y轴右侧上升．x…－4－3－2－101234…f(x)＝x2……⑤在数学上规定：函数y＝x2在区间，＋上是增函数.谁能给出增函数的定义？⑥增函数的几何意义是什么？⑦类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？⑧函数y＝在区间D上具有单调性，说明了函数y＝在区间D上的图象有什么变化趋势？讨论结果：①函数y＝x的图象，从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象在y轴左侧是-3-下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．②函数图象上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小．③按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大．图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大．也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大．④在区间(0，＋∞)上，任取x1、x2，且x1＜x2，那么就有y1＜y2，也就是有f(x1)＜f(x2)．这样可以体会用数学符号来刻画图象上升．⑤在函数y＝f(x)的图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝y2－y1.Δx表示自变量x的改变量，Δy表示因变量y的改变量，其中“Δ”为希腊字母，读作“delta”．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数．如下图(1)所示．⑥从左向右看，图象是上升的．⑦在函数y＝f(x)的图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝y2－y1.Δx表示自变量x的改变量，Δy表示因变量y的改变量，其中“Δ”为希腊字母，读作“delta”．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如下图(2)所示．几何意义：从左向右看，图象是下降的．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性．(区间M称为单调区间)⑧函数y＝f(x)在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小)，几何意义：从左向右看，图象是上升(下降)的．应用示例思路1例1说出函数f(x)＝1x的单调区间，并指明在该区间上的单调性．活动：学生思考函数单调性的几何意义，由图象得单调区间．解：(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数f(x)＝1x都是单调递减的．点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性．图象法判断-4-函数的单调性适合于选择题和填空题．如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性．函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性．图象法求函数单调区间的步骤是：第一步，画函数的图象；第二步，观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.变式训练下图是定义在区间上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？活动：教师提示利用函数单调性的几何意义．学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生．图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数．解：函数y＝f(x)的单调区间是．其中函数y＝f(x)在区间上是增函数.例2证明函数f(x)＝2x＋1，在(－∞，＋∞)上是增函数．分析：画出这个一次函数的图象如下图，直观上很容易看出函数值随着自变量增大而增大．下面根据定义进行证明．同学们可以根据图象理解每一步证明的几何意义．证明：设x1，x2是任意两个不相等的实数，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝2x2＋1－(2x1＋1)＝2(x2－x1)＝2Δx＞0，所以函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性．定义法判断或证明函数的单调性的步骤是：第一步，在所给的区间上任取．两个自变量x1和x2，通常令x1＜x2；第二步，比．较f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步，再．归纳结论．定义法的步骤可以总结为：一“取(去．)”、二“比．”、三“再(赛．)”，因此简称为“去比赛．．．”.变式训练证明函数f(x)＝1x＋2在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．-5-证明：设x1，x2是(－∞，0)内的任意两个不相等的负实数，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝1x2＋2－1x1－2＝x1－x2x1x2.因为x1－x2＝－Δx＜0，x1x2＞0，所以Δy＜0.因此f(x)＝1x＋2在区间(－∞，0)上是减函数．同理，对区间(0，＋∞)内的任意两个不相等的正实数x1，x2，且x1＜x2，同样有Δy＝f(x2)－f(x1)＜0.所以f(x)＝1x＋2在区间(0，＋∞)上也是减函数．思路2例1(1)画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象；(2)证明函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数；(3)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，求实数m的取值范围．解：(1)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象如下图所示．(2)设x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，则有f(x1)－f(x2)＝(－x21＋2x1＋3)－(－x22＋2x2＋3)＝(x22－x21)＋2(x1－x2)＝(x1－x2)(2－x1－x2)．∵x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜2.∴2－x1－x2＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数．(3)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的对称轴是直线x＝1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(－∞，m]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(－∞，1]．点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用．讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内．判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明．判断函数单调性的三部曲：第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；第二步，结合图象来发现函数的单调区间；第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论．函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的必考内容之一．因此应理解单调函数及其几何意义，会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调-6-性解决一些问题，会判断复合函数的单调性．函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.变式训练已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)＝f(x)－f(a－x)．(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；(2)证明函数y＝F(x)的图象关于点(a2，0)成中心对称图形．分析：(1)本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法证明；(2)证明函数y＝F(x)的图象上的任意点关于点(a2，0)的对称点还是在函数y＝F(x)的图象上即可．证明：(1)设x1、x2∈R，且x1＜x2.则F(x1)－F(x2)＝－＝＋．又∵函数f(x)是R上的增函数，x1＜x2，∴a－x2＜a－x1.∴f(x1)＜f(x2)，f(a－x2)＜f(a－x1)．∴＋＜0.∴F(x1)＜F(x2)．∴F(x)是R上的增函数．(2)设点M(x0，F(x0))是函数F(x)图象上任意一点，则点M(x0，F(x0))关于点(a2，0)的对称点M′(a－x0，－F(x0))．又∵F(a－x0)＝f(a－x0)