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“平行四边形的判定”（第一课时）教学实录与评析徐利执教（山东省茌平县杜郎口中学）喻汉林评析（江西省教育厅教研室）教学内容青岛·泰山版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册第一章第二节第一课时。课型新授课。内容解析“平行四边形的判定”是初中数学几何部分重要的内容之一，这主要体现在知识技能和思想方法两个方面。从知识技能上讲，它既是对前面所学的全等三角形和平行四边形性质的一个回顾和延伸，又是以后学习特殊平行四边形的基础，同时它还进一步培养学生简单的推理能力和图形迁移能力；从思想方法上讲，通过平行四边形和三角形之间的相互转化，渗透了化归思想。本节课是在学生前面学段已经学过的平行四边形知识、本学段学过的四边形、平行线、三角形的有关知识的基础上来学习的，也可以说是在已有知识的基础上作进一步较系统的整理和研究。本章内容的学习反复运用了平行线和三角形的知识，从这个角度来看，本章的内容也是前面平行线和三角形等内容的应用和深化．教学目标（1）通过实验操作、猜想和证明的过程，体验数学研究和发现的过程，学会数学思考的方法．（2）探索并证明平行四边形的判定定理1、2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形。学会一些简单的应用．（3）发展学生的合情推理能力，进一步培养学生的逻辑推理能力，规范推理的书写格式．教学重点平行四边形判定定理的探索与证明。教学难点平行四边形判定定理1、2的证明。教学方法先学后交（交流）,当堂拔高.先学：学生在教师编制的预习学案的指导下先自学，遇到困难可以在小组内交流，也可以和教师交流,完成预习任务，在学生预习期间,教师参与到各学习小组中，对学生预习中出现的疑难进行点拨，指导。后交：学生以小组为单位展示自己的预习成果，在学生展示的过程中，教师及时追问，点评，拓展，评价。教具与学具硬纸片，剪刀.教学过程1．预习师：通过以上两节课的学习，我们知道了什么是平行四边形，掌握了平行四边形的三个性质。同学们来思考一下，根据我们现在所学的知识，当一个四边形满足什么条件的时候，我们就可以判定它是一个平行四边形？生1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。师：判定一个四边形是平行四边形，除了运用定义外，还有哪些常用的方法呢？今天就让我们带着这个问题一起来探索平行四边形的判定定理。下面同学们以学案中的问题为线索，结合教材相关内容，进行自学。在自学过程中遇到困难，可以在小组内交流，也可以和老师进行交流。预习任务完成以后，我们将分组来展示同学们的预习成果。（学生以小组为单位围绕学案中的问题进行自学并适时交流，教师参与到小组中对学生遇到的困难及时进行指导。）2．展示（15分钟后。）师：刚才同学们完成了预习任务，为了让每个组的同学都有参与机会，老师把预习任务分配一下：一组完成“实验探索，得出命题”；二组完成“猜想命题，证明判定定理1”；三组完成“探索判定定理2”；四组完成“学以致用”；五组完成“拓展”；六组完成“应用”。每个组的同学用5分钟的时间共同交流一下，自己组的任务应该怎么去分析，讲解，点评，用什么样的展示方式进行展示。5分钟之后我们将从一组开始展示同学们的预习成果，下面各组开始准备！（学生以小组为单位，画图，讨论交流自己组的预习任务。）师：现在我们从第一组开始展示同学们预习交流的成果。在展示过程中，要求同学们认真听，及时把自己对这个问题的见解以及不同的方法表达出来。（1）第一组展示。生1：：平行四边形是同学们生活中非常熟悉的一种图形,生2，请你举一个平行四边形的例子。生2：学校电动大门上的图案，楼梯扶手，窗户的玻璃都是平行四边形。生3：你是怎么知道它们是平行四边形的？生2：我发现它们的对边是平行的，所以是平行四边形。师：确切地说，应该是两组对边分别平行，这样的四边形是平行四边形。生2非常善于观察，其实只要认真观察，平行四边形的例子还有很多。生4：在数学中，仅凭观察就下结论往往是不够科学的。我们必须通过推理论证来确定我们的结论，下面请走进我们组的实验探索。实验探索，得出命题：①如图1，剪一个三边都不相等的三角形硬纸片ABC，再剪一个与它全等的三角形硬纸片A1B1C1；A11′B1C1（2）ABC（1）图1②不翻转纸片，用这两个三角形拼成四边形，有几种不同的拼法？③你拼出了几个四边形？拼出的各个四边形的两组对边分别相等吗？它们都是平行四边形吗？生5：先看第（1）题，如何剪一对全等的三角形？我们先将两张纸片重合，然后在第一张纸片上画一个三边都不相等的三角形，再剪出一对全等的三角形即可。生6：再来看第（2）题，注意题中给出的两个三角形在同一个方向，并不是相反的方向。我们先把三角形两个最短的边重合（边说边做纸片重合演示），这样就拼成了一个四边形，然后再把较长的边重合，又拼成了一个四边形，最后再把最长的边重合，又拼成了一个四边形。这里需要注意的是，题中的要求是“不翻转纸片”，这是这道题的易错点。如果可以翻转纸片，那么又会有几种拼法？大家讨论一下。（学生进行小组讨论。）师：（示停）根据刚才生6的提示，谁能表达一下自己的见解？生7：通过做实验，我们小组发现，如果可以翻转纸片，会有六种拼法。除了刚才生6说的那三种外，另外还有三种。（边说边走到黑板前，带着纸片在黑板上演示。）如果这样倒过来重合的话，就组成了这样一个四边形。师：刚才是怎样重合的？生7：刚才是这样（学生演示重合方法）。把它翻转过来以后，就成了这样的一个四边形。师：这样的话，刚才的三种拼法就变成了六种拼法。生6提的这个问题非常有价值。同学们想一想刚才的这三种拼法，谁能找到其中的窍门，我们是怎样拼出来的？生8：在两个三角形中，把较短的边相互重合，然后是把较长的边重合，最后是把最长的边重合。生9：简单地概括就是，在两个全等的三角形中，让它们的对应边重合。师：概括得非常好。生6：请问生10，我这样拼行吗？（边说边拿纸片进行演示：把最短的边和较长的边的一部分重合。）生10：不行。生6：为什么？生10：这样就不是一个四边形了。生9：所以，我们要认真读题，注意关键词和关键句。师：关键词是什么？生6：“四边形”和“不翻转”。在这个题中，还应该注意的是“图是同一个方向”。生11：拼出的四边形两组对边分别相等，它们是平行四边形吗？我们来看一看。首先用生6的第一种方法（边说边拿纸片进行演示），这样就拼成了一个四边形。请问生12，在这个三角形中，AB和A1B1是什么关系？生12：相等。生13：在这个四边形中，AB和A1B1是对边吗？生12：是。生9：由此类推，我们就可以得出，拼出的各个四边形两组对边应该是相等的。通过观察，我们可以看出，它们应该是平行四边形。生14：在证明对应边相等的时候，运用了全等三角形的对应边相等，我们证明了两个三角形全等，所以对应边相等。师：我们发现，两组对边分别相等的四边形都是平行四边形。这是一种巧合还是一种必然？下面请第二组的同学的展示。（2）第二组展示。师：刚才我们得到了一个命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。这个命题是真命题还是假命题？你们能用学过的知识验证这个结论吗？师：这个命题的条件和结论是什么？为了证明它是真命题，你们能写出已知、求证和证明吗？生15：在这个命题中，条件是一个四边形的两组对边分别相等，结论是这个四边形是平行四边形。生16：根据刚才的分析，我们可以写出已知条件：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC。我们要求证的结论是：四边形ABCD是平行四边形。生16：如图2，做这个题，首先我们作辅助线AC，因为在△ABC和△CDA中，AB=CD，AD=BC，又因为AC=CA，所以我们可以得出△ABC≌△CDA，由此可以进一步得出∠ACB=∠CAD。所以AD∥BC。同理可得，AB∥CD。由AD∥BC，AB∥CD，我们可以得出四边形ABCD是平行四边形。图2师：同学们想一想，刚才我们是用什么方法来证明四边形是平行四边形的？生17：刚才我们先是证明了两个三角形全等，得出两个角相等。然后根据内错角相等得到两组对边分别平行。最后用平行四边形的定义，判定了四边形ABCD是平行四边形。师：这是我们整个题目解题的出发点和归宿，只要证出两组对边分别平行，这道题就解决了。在这道题的解答过程中，有一条线非常重要，大家说是什么呀？生众：AC。师：为什么说它非常重要？谁来讲一讲？生18：因为连接AC以后，可以证明△ABC和△CDA全等。然后再根据全等得到对应角相等。在这个题中，我们可以知道，它们的两组对应角是内错角，再根据内错角相等得到两组对边是分别平行的。最后再根据定义得到四边形ABCD是平行四边形。师：通过连接AC，我们达到了一个目的：将一个四边形的问题转化为两个全等的三角形的问题。事实上，解决四边形问题时，我们常把其转化为三角形问题来解决。同学们想一想，除了连接AC可以解答外，还可以怎样做？生18：连接BD。用同样的方法，我们也可以证明它是一个平行四边形。师：通过刚才的探索，我们证明了一个什么命题呢？生19：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。ABCD师：这就是我们今天得到的平行四边形的判定定理1。以后的解题过程中同学们可以直接使用这个定理判定平行四边形。同学们想一想，以后在证明过程中要应用这个定理，结合图，应该怎样写？生20：因为AB=CD，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形。师：到现在为止，我们有几种方法能够判定一个四边形是平行四边形？生21：两种。师：判定四边形是平行四边形我们的思路更宽了。看过第三组的展示后，你们会发现还有一种判定方法。好，让我们一起来看第三组同学的展示。（3）第三组展示。师：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。如果一组对边平行且相等，能否证明此四边形是平行四边形呢？生23：我认为能证明这个四边形是平行四边形。如图3，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，因为AB∥DC，所以∠1=∠2。图3在△ABC和△CDA中，AB=DC，∠1=∠2，AC=CA，所以我们能够证明△ABC≌△CDA。这里的根据是“边角边”定理，这两个三角形全等，我们就可以得出∠3=∠4，进而有AD∥BC。在四边形中，AB∥DC，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形。生24：我们已经验证：已知AB∥DC，AB=DC，就可以判定四边形ABCD是平行四边形。那么已知AD∥BC，AD=BC时，是否能得出同样的结论呢？生25：首先连接AC，已知AD∥BC，所以∠3=∠4。由已知AD=BC，∠3=∠4，AC=CA，我们可以得到△ABC≌△CDA。生26：既然△ABC≌△CDA，那么我们就可以得到∠1=∠2。利用内错角相等，两直线平行，得到AB∥DC。已知AD∥BDC，这样由定义我们就可以得到这个四边形是平行四边形。师：通过刚才同学们的猜想、验证，我们发现，一个四边形，当它满足“一组对边平行且相等”时，这个四边形就是平行四边形，这就是平行四边形的判定定理2。谁能归纳一下判定定理2的内容？生28：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。师：现在能证明四边形是平行四边形的方法有三种了。我们证明四边形是平行四边形的思路更宽了。在证明判定定理2时，同学们用的是定义。还有其他方法吗？（4）第四组展示。生29：请同学们看这个图。我们使用的方法和第三组同学的方法有所不同。刚才已经证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形，我们可以应用这个定理来证明四边形ABCD是平行四边形。在题目中，我们已知AB=CD，我们想根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形来进行证明，所以我们需要证明AD=BC。如何证明AD=BC呢？由生23的证明可知△ABCABCD1324≌△CAD，由此我们就得到AD=BC。生30：我们已知AB=CD，又得出了AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形。生31：做这个题最关键的就是连接四边形ABCD的对角线AC。师：同学们想一想，如果我把“一组对边平行且相等”改成“一组对边相等，另一组对边平行”。那么这个命题还是不是真命题？下面我们来看第五组的展示。（5）第五组展示。生32：下面我们以举反例的方法来看看它是不是平行四边形。同学们请看这个图，