应用数值分析(第四版)课后习题答案第5章

1第五章习题解答1、给出数据点:013419156iixy(1)用012,,xxx构造二次Lagrange插值多项式2()Lx,并计算15.x的近似值215(.)L。(2)用123,,xxx构造二次Newton插值多项式2()Nx,并计算15.x的近似值215(.)N。(3)用事后误差估计方法估计215(.)L、215(.)N的误差。解:(1)利用012013,,xxx,0121915,,yyy作Lagrange插值函数2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()iiixxxxxxLxlxyxx代入可得2151175(.).L。(2)利用123134,,xxx,1239156,,yyy构造如下差商表：ixiy一阶差商二阶差商１９３１５３４６－９－４于是可得Newton插值多项式：229314134196()()()()()Nxxxxxx代入可得215135(.).N。(3)用事后误差估计的方法可得误差为1501511751350656304.(.)(..).R◆2、设Lagrange插值基函数是0012()(,,,,)njijijjixxlxinxx试证明:①对x,有01()niilx2②00110001211()()(,,,)()()nkiiinnklxknxxxkn其中01,,,nxxx为互异的插值节点。证明：①由Lagrange插值多项式的误差表达式101()()()()()!nniifRxxxn知，对于函数1()fx进行插值，其误差为0，亦即0()()niiifxlxf精确成立，亦即01()niilx。②分别取被插值函数()kfxx，当kn时Lagrange插值多项式的误差表达式1001()()()()()!nniifRxxxn，即0()()niiifxlxf，亦即0()nkkiiilxxx，对于0k，由①可知结论成立；对于12,,,kn时，特别地取0x，则有000()nkiiilx；而当1kn时知其Lagrange插值误差为1001()()()()()()!nnniiiifRxxxxxn，于是有0()()()niiifxlxfRx，即1100()()nnkkiiiiixlxxxx，特别取0x可得1201010011()()()nknniinnilxxxxxxx，证毕。◆3、试验证Newton插值多项式满足22()()nNxfx。解：由Newton插值多项式0010012()()[,]()[,,]nNxfxfxxxxfxxx101010()()[,,,]()nniixxxxfxxxxx可知20012001220211021102110020202110202()()[,]()[,,]()()()()()()()()()()()()()()nNxfxfxxxxfxxxxxxxfxfxfxfxfxfxxxxxfxxxxxxxxxxxfx◆34、已知0101()()()()(,,,nifxxxxxxxxin互异,)，求函数()fx的p阶差商01[,,,],pfxxxpn。解：由差商和函数值的关系式0100,()[,,,]()pjppjjiiijfxfxxxxx可知，当pn时总有010[,,,]pfxxx◆5、若()()()fxuxvx，试证明：01001011[,]()[,][,]()fxxuxvxxuxxvx证明：由差商定义10110001101011010100101010101010001011()()()()()()[,]()()()()()()()()()()()()()()()[,][,]()fxfxuxvxuxvxfxxxxxxuxvxuxvxuxvxuxvxxxuxuxvxvxvxuxxxxxuxvxxuxxvx◆6、若已知2nny，求4ny和4ny。解：由向前差分、中心差分和函数值的关系可得44440432143211464242624222()***kknnkknnnnnnnnnnnyCyyyyyy444202112211221464242624222()***kknnkknnnnnnnnnnnyCyyyyyy7、考虑构造一个函数01()([,])xfxex的等距节点函数表，要使分段线性插值的误差不大于41102，最大步长h应取多大？解：由等距分段线性插值的误差表达式4222401110882()()max()xhhRxfxe从而可得221000121.he8、考虑构造一个函数01()([,])xfxex的等距节点函数表，要使分段Hermite插值的误差不大于41102，最大步长h应取多大？解：由等距分段Hermite插值的误差表达式4444401110423842()()max()!xhhRxfxe从而可得141221002899.he9、对函数()fx，取节点012,,xxx，且已知001122''(),(),()fxyfxyfxy；①试对()fx构造二次插值多项式2001122'()()()()Pxhxyhxyhxy确定上式中基函数012(),(),()hxhxhx。②若要使2()Px存在且唯一，插值节点012,,xxx应满足什么条件？解：①依题意，二次多项式基函数012(),(),()hxhxhx应分别满足：000010200'(),(),()hxyhxhx（1）101111200''(),(),()hxhxyhx（2）202122200'(),(),()hxhxhxy（3）由（1）（2）（3）可得212000210222()()()()()xxxxxyhxxxxxx，02111022'()()()()xxxxyhxxxx，5010022012022()()()()()xxxxxyhxxxxxx②由（1）（2）（3）可知欲使2()Px存在且唯一，只需且必须插值节点02,xx互异且0212xxx。10、设301()[,],,[,]fxCabxxab，证明：1010100210012012102'()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxfxfxfxxxxxxxfxRxxx其中2010116'''()()()()()Rxxxxxfxx。证明：令二次多项式10101200210012012102'()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxPxfxfxxxxxxxfxxx则易见2()Px满足：200200211''()(),()(),()()PxfxPxfxPxfx于是2()()()RxfxPx满足：0010'()()()RxRxRx因而201()()()()RxKxxxxx，引入辅助函数201()()()()()gtRtKxtxtx，则()gt共有01(,xxx二重),四个零点，依广义Rolle定理，存在01[,]xx满足：26660'''''''''''''''()()()()()()()()gRKxfPKxfKx从而6'''()()fKx，20116'''()()()()Rxxxxxf。证毕。11、设(),()iihxhx为Hermite插值基函数，012(,,,,)in，试证明：①01()niihx②0(()())niiiihxxhxx6证明：由Hermite插值00'()()()()nniiiiiifxhxyhxyRx，其误差表达式222022()()()()()!nniifRxxxn，故对于次数不高于一次的多项式函数()fx有0()Rx，从而00'()()()nniiiiiifxhxyhxy，特别地取1(),fxx，分别可得①01()niihx；②0(()())niiiihxxhxx12、试构造一个Hermite三次多项式3()Hx逼近函数()fx，满足以下条件。3333000111003110''''()(),()()()(),()()HfHfHfHf解：取0101,xx，由Hermite插值1100'()()()()iiiiiifxhxyhxyRx，11300'()()()iiiiiiHxhxyhxy，其中22001122111001()()()xxhxxx，2211012320110()()xxhxxx，22010101()()()xhxxxx，22101110()()()xhxxxx代入可得323103593()()()Hxhxhxxxx。13、试判断下面函数是否为三次样条函数：①33301001112[,)()[,)()[,]xfxxxxxx7②23211022101[,)()[,]xxxfxxxx解：据三次样条函数的定义①中函数是三次样条函数，②中函数不是三次样条函数，因其在内节点0处二阶导数不连续。14、给出如下的数据：1010132020'''xyyy①试用重节点差商法构造五次Hermite插值多项式5()Hx满足所给条件，并给出插值误差式。②若用Lagrange型基本函数法，应如何构造节点基函数。解：①利用重节点构造如下差商表ixiy一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商-10-10-2-10-2100113-7010-1-4313223/211/4-1/8于是可得2332355432121101713118121131788()()()()()()()Hxxxxxxxxxxxx插值误差为:6235116()()()()()!fRxxxx②若用Lagrange型基本函数法,设基函数为012010(),(),(),(),(),()xxxxxx,2150000'''()()()()iijjijHxxyxyxy其中001201()(,,),()(,),()ijxixjx均为五次多项式且满足00000001101011''''()()()()(),(),811111111101001''''()()()()(),(),22222210101011''''()()()()(),(),00000010101011''''()()()()(),(),11111110111001''''()()()()(),(),00000010110011''''()()()()(),()。15、已知数据对081720319456(,){(,),(,),(,),(,),(,)}xy①给出自然边界条件040''''()()yy