积化和差与和差化积同步练习(教师版)

3.3三角函数的积化和差与和差化积同步练习1．下列等式错误的是()A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosBB．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsinBC．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosBD．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A、B、C正确．2．sin15°sin75°＝()A.18B.14C.12D．1解析：选B.sin15°sin75°＝－12[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]＝－12(cos90°－cos60°)＝－12(0－12)＝14.3．sin105°＋sin15°等于()A.32B.22C.62D.64解析：选C.sin105°＋sin15°＝2sin105°＋15°2cos105°－15°2＝2sin60°cos45°＝62.4．sin37.5°cos7.5°＝________.解析：sin37.5°cos7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin45°＋sin30°)＝1222＋12＝2＋14.答案：2＋14一、选择题1．sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为()A.34B.32C.12D.34解析：选A.sin70°cos20°－sin10°sin50°＝12(sin90°＋sin50°)＋12(cos60°－cos40°)＝12＋12sin50°＋14－12cos40°＝34.2．cos72°－cos36°的值为()A．3－23B.12C．－12D．3＋23解析：选C.原式＝－2sin72°＋36°2sin72°－36°2＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72°＝－2·sin36°cos36°cos72°sin36°＝－sin72°cos72°sin36°＝－sin144°2sin36°＝－12，故选C.3．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2C2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形解析：选B.由已知等式得12[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝12(1＋cosC)，又A＋B＝π－C.所以cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC.所以cos(A－B)＝1，又－πA－Bπ，所以A－B＝0，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．故选B.4．函数y＝sinx－π6cosx的最大值为()A.12B.14C．1D.22解析：选B.y＝sinx－π6cosx＝12sinx－π6＋x＋sinx－π6－x＝12sin2x－π6－12＝12sin2x－π6－14.∴ymax＝12－14＝14.5．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos2α－sin2β等于()A．－23B．－13C.13D.23解析：选C.cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos2α＋cos2β)＝12[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β，∴cos2α－sin2β＝13.6．函数y＝sinx＋π3－sinx(x∈[0，π2])的值域是()A．[－2,2]B.－12，32C.12，1D.12，32解析：选B.y＝sinx＋π3－sinx＝2cosx＋π6sinπ6＝cos(x＋π6)．∵x∈0，π2，∴π6≤x＋π6≤2π3，∴y∈－12，32.二、填空题7．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值等于________．解析：y＝sin215°＋cos215°＋cos75°·cos15°＝1＋12(cos90°＋cos60°)＝54.答案：548．已知α－β＝2π3，且cosα＋cosβ＝13，则cos(α＋β)等于________．解析：cosα＋cosβ＝2cosα＋β2cosα－β2＝2cosπ3cosα＋β2＝cosα＋β2＝13，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×19－1＝－79.答案：－799．函数y＝cosx＋π3cosx＋2π3的最大值是______．解析：y＝12cos2x＋π＋cos－π3＝12－cos2x＋cosπ3＝14－12cos2x，因为－1≤cos2x≤1，所以ymax＝34.答案：34三、解答题10．化简下列各式：(1)cosA＋cos120°＋B＋cos120°－BsinB＋sin120°＋A－sin120°－A；(2)sinA＋2sin3A＋sin5Asin3A＋2sin5A＋sin7A.解：(1)原式＝cosA＋2cos120°cosBsinB＋2cos120°sinA＝cosA－cosBsinB－sinA＝2sinA＋B2sinB－A22cosA＋B2sinB－A2＝tanA＋B2.(2)原式＝sinA＋sin5A＋2sin3Asin3A＋sin7A＋2sin5A＝2sin3Acos2A＋2sin3A2sin5Acos2A＋2sin5A＝2sin3Acos2A＋12sin5Acos2A＋1＝sin3Asin5A.11.在△ABC中，若B＝30°，求cosAsinC的取值范围．解：由题意得cosAsinC＝12[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝12[sin(π－B)－sin(A－C)]＝14－12sin(A－C)．∵－1≤sin(A－C)≤1，∴－14≤14－12sin(A－C)≤34，∴cosAsinC的取值范围是－14，34.12．已知f(x)＝－12＋sin52x2sinx2，x∈(0，π)．(1)将f(x)表示成cosx的多项式；(2)求f(x)的最小值．解：(1)f(x)＝sin5x2－sinx22sinx2＝2cos3x2sinx2sinx2＝2cos3x2cosx2＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1.(2)∵f(x)＝2(cosx＋14)2－98，且－1＜cosx＜1.∴当cosx＝－14时，f(x)取最小值－98.