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三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\能求值得要求出值.一:定义法例1.化简xxxxxxxxsintansintansintansintan解:设点则且终边上一点为角,,),(22yxrOPxyxP.tan,sinxyxryx0)(222xryxryyxrxryryxyryxyryxyryxy原式二:弦切互化法例2.xxxxxxx2222tan1tan1)cos2tantan(sin2tan化简解:原式xxxxxxxxxxxxxxx2cos)cos2sin21(2cos2sincossin1cossin1)2cos2sincossin1(2cos2sin22222xxxxx2sin22coscos12cos2sin三:变用公式例3.oooooo15tan50tan50tan25tan25tan15tan化简解:原式15tan50tan)50tan15(tan25tan15tan50tan)50tan15tan1)(5015tan(25tan115tan50tan)50tan15tan1(说明:公式tantan1tantan)tan(在解题中运用非常灵活.常常变形为)tantan1)(tan(tantan来使用.四:连锁反应法例5.oo78sin66sin42sin6sin化简解:原式12cos24cos48cos6sin6cos48cos24cos12cos6sin6cos=1616cos96sin1616cos48cos24cos12cos12sin21说明:此题分子分母同乘以6cos,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地.五:升降次法例6.yxyxyx2cos2cos)(cos)(cos22化简解:原式yxyxyx2cos2cos2)22cos(12)22cos(1yxyxyx2cos2cos)]22cos()22[cos(21112cos2cos2cos2cos1yxyx例7.xx4cos812cos2183:化简解:原式)12cos2(81)1cos2(218322xx)1cos4cos4(41cos43)1cos2(41cos43242222xxxxxxxxx42242sin)cos1(coscos21六:基本技巧例8(1)2cos2sin12cos2sin1:化简解:原式)cos(sincos2)cos(sinsin2cossin2coscossin2sin22sin)2cos1(2sin)2cos1(22tan(2).2cos2sin,2tan的值求已知xxx解:xxxcos2sin,2tan1cos2cos41cos2cossin22cos2sin222xxxxxxx1tan161sec61cos6222xxx511416角的变换角的变换,一般包括角的分解和角的组合,角的分解即把一个角分成几个角的和或差,而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。例1、已知sin=4sin(+),求证:tan(+)=4cossin。证明:将角分解成=(+)由sin[(+)]=4sin(+)得:sin(+)coscos(+)sin=4sin(+)即sin(+)(cos4)=cos(+)sin从而tan(+)=4cossin。例2、若3tan=2tan(+),则sin(2+)=5sin。证明:由条件有3sincos(+)=2sin(+)cos,6sincos(+)=4sin(+)cos,从而sincos(+)+cossin(+)=5[sin(+)cossincos(+)],即sin(2+)=5sin。例3、已知cos(4+x)=53,47127x,求xxxtan1sin22sin2的值。解:)4cos()4sin(2sincossincos)sin(cossin2tan1sin22sin2xxxxxxxxxxxx而cos(4+x)=530,47127x,于是2465x,从而有sin(4+x)=54。注意到cos2(4+x)=2cos2(4+x)1=2(53)21=257sin2x=257于是原式=752853)54(257。以上解题过程,紧紧抓住角的变捣,是灵活解题之关键,因此要注意分析思考角的关系,找出差异实现转化。例4、已知:+(2,),(0,2),且sin()=734,cos(+)=1411,求。解:先求2,而2=(+)(),由题可得:cos()=71,sin(+)=1435,cos2=cos[(+)()]=cos(+)cos()+sin(+)sin()=141171+1435734=21又2+,020(+)()=22=3即=6。例5、求(1+tan10)(1+tan20)(1+tan30))45tan1(0的值。解:由10+440=20+430=220+230及(1+tan10)(1+tan440)=1+(tan10+tan440)+tan10tan440=1+tan(10+440)(1tan10tan440)+tan10tan440=1+1tan10440+tan10440=2,同理有:(1+tan20)(1+tan430)=(1+tan220)(1+tan230)=2因而原式=223。一般地,若AB=n4(n为奇数),均可考虑用tan)tantan1()tan(tan化简。例6、求120sin220cos2120sin220cos20000tan250的值。解:上式即为000000000025cos25cos20sin225cos20cos225sin25sin20sin225sin20cos2分子=sin450+sin50cos450+cos50sin250=sin50+(sin850sin250)=sin50+2cos550sin300=cos850+cos550=2cos700cos150,同理:分母=2cos700sin150,原式=cot150=2+3。和(差)角范围问题在三角解题中经常遇到确定和(差)角范围的问题,学生常因确定和(差)角范围的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理方法。一.合理选用公式来确定例1已知α,β均为锐角,sinα=551010,sin,求α+β的值。解析:由已知条件有cosα=25531010,cos,且0<α+β<π。又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ255310105510102204××>,所以二.借用其他三角函数来确定合理选用公式,仅对两角和(差)的范围在相邻两个象限时起作用,而对于其它情形,可通过两角和(差)的两个三角公式,来确定两角和(差)的范围。例2已知sin,cos35513,且α,β都是第二象限角,试确定2α+β,2α-β所在象限。解析:由条件α,β都是第二象限角,则有。。257)53(21sin212cos252454532cossin22sin1312sin,54cos22×,)(××所以因为2α+β,2α-β都可能落在三个象限,单独使用正(余)弦和差角公式,从值的符号都不能决定2α+β,2α-β的象限,但同时使用正弦、余弦的和差角公式,即可解决。由cos(2α+β)=cos2αcosβ-sin2αsinβ,03252531312)2524()135(257>××知2α+β在一、四象限。又sin(2α+β)=sin2αcosβ+cos2αsinβ()×()×>242551372512132043250知2α+β在一、二象限。综上知2α+β在第一象限。同理可确定2α-β在第三象限。三.挖掘隐含条件来确定例3已知cos(α-β)=、,,2312sin21都是锐角,求cos(α+β)的值。解析:由已知条件有。322)31(12sin12cos,312sin22022则,又<<因为0<sin2α=1312<,所以0<2α<6,所以0<α<12。①又因为0<β<2,所以2<-β<0。②由①、②得2<α-β<12。又因为cos(α-β)=12,所以20<<。)(cos1)sin(2所以=23。从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)。6322233121322)(××评析:本例通过0<sin2α=1312<,发现了隐含条件:0<α<12,将α-β的范围缩小为212<<,进而由cos(α-β)=12,将α-β的范围确定为20<<,从而避免了增解。例4已知2222<<,<<,且tanα,tnaβ是一元二次方程xx23340的两个根,求α+β的值。解析:由已知条件得tanα+tanβ=330<,tanαtanβ=4>0,所以tnaα<0,tanβ<0。又因为2222<<,<<,所以,0<<2,0<<2所以-π<α+β<0。又因为tan(α+β)=tantantantan1=33143所以α+β=23。评析:本例根据韦达定理tanα+tanβ=33,tanαtanβ=4,挖掘出了隐含条件tanα<0,tanβ<0,知02<<,0<<2,得出了α+β的确切范围,从而顺利求解。条件三角函数式的求值例1、已知tan3,求①sin2cos5cossin;②2sin2cos.解:①sin2cos5cossin=tan25tan52;②222222sin22sincos2tan17sin21101coscoscossincostan.例2、已知1sincos3,0(,),sincos求的值.解:1sincos3112sincos982sincos09()252sincos91-2259(sincos),又因为()及0(,),所以(,)2,即sincos0,所以5sincos3.注:“已知sincos”与“未知sincos”的联系是“2(sincos)=24sincos(sincos)”,从而目标是求出sincos的值.例3、4sin()1,5tan,且是第二象限的角,求tan.解:∵是第二象限的角,4sin5,∴3cos5,即4tan3,∴tan=tan[()]=tan()tan71tan()tan.注:“未知”与“已知”和“已知”的联系显然是“()”.例4、12cos(),13
本文标题:积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲
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