教案与圆有关的位置关系(二)

1第23章圆教学内容§23.2与圆有关的位置关系(二)教学目的：1、了解圆和圆的五种位置关系的定义；并掌握每种位置关系中圆心距d和两圆半径R和r的数量关系,会用d与R、r之间的数量关系，判断两圆的位置关系；2、掌握相切两圆和相交两圆的性质．通过综合运用圆与圆的位置关系的有关性质解题，进一步提高对前段所学与圆有关知识的应用能力、加深对圆的有关重要性质的理解。3、逐步培养学生观察、比较、分析、概括问题的能力及推理论证的能力；4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美；5、渗透数形结合的数学思想，进一步培养学生良好的学习习惯和不断创新的精神．6、掌握相交两圆的性质定理；并掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；掌握在解题时适当添置辅助线(连心线、公共弦、连结两交点与圆的线段等)的基本技能。7、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力；【知识重点与学习难点】重点：1。两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质．它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识．2。相交两圆的性质及应用．难点1。两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用．由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．”看成是真命题．2。应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线．【方法指导与教材延伸】21、知识结构(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1))(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2))(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3))(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4))(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5))．两圆同心是两圆内含的一个特例．(图(6))2、归纳：(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点．(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一3(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)．并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．3、分析、研究1、相切两圆的性质．让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明2、两圆位置关系的数量特征．设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，则两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．两圆外切d＝R+r；两圆内切d＝R-r(R＞r);两圆外离d＞R+r；两圆内含d＜R-r(R＞r);两圆相交R-r＜d＜R+r．说明：注重“数形结合”的思想．（一）图形的对称美相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形．相交两圆具有什么性质呢?4（二）观察、猜想、证明1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形．2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”．3、证明：已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B．求证：Q1O2是AB的垂直平分线．分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B．证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B，∵O1A=O1B，∴O1点在AB的垂直平分线上．又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上．因此O1O2是AB的垂直平分线．也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴．∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上．∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，∴连心线O1O2是AB的垂直平分线．定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．【例题选讲】例1、已知：⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、5，且两两相切，求AB、BC、CA的长5解：分类讨论：（1）当⊙A与⊙B外切时，分4种情况：①如图1，AB=5，BC=8，CA=7；②如图2，AB=5，BC=2，CA=3；③如图3，AB=5，BC=8，CA=3；④如图4，AB=5，BC=2，CA=7；（2）当⊙A与⊙B内切时，分2种情况：①如图5，AB=1，BC=2，CA=3；②如图6，AB=1，BC=8，CA=7．说明：此题需要两次分类，但关键是以什么为标准进行分类，才能不重不漏．例2、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。求∠OlAB的度数．分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙Ol和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形．从而可由∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°．解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆∴OlA=O1O2=AO2∴∠O1AO2=60°，又AB⊥O1O2∴∠OlAB=30°．6例3、已知R1、R2为两圆半径，圆心距d＝5，且R1，R2，R1－R2是方程x3－6x2＋11x－6＝0的三个根，试判断以R1，R2为半径的两圆的位置关系。分析：通过解方程，把R1，R2，R1－R2都求出来以后，根据两圆位置关系的判定方法，即可作出结论。解：将方程x3－6x2＋11x－6＝0变形得：(x－1)(x－2)(x－3)＝0解得：x1＝1，x2＝2，x3＝3∵R1，R2，R1－R2是方程的根∴(1)当R1＝3，R2＝2，R1－R2＝1时，两圆外切。(2)当R1＝3，R2＝1，R1－R2＝2时，两圆外离。故由(1)(2)可得：两圆的位置关系是外切或外离。例4、已知：如图，⊙O1和⊙O2外切于P，直线APC交⊙O1于点A，交⊙O2于C，AB切⊙O2于B，设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2。求证：21221rrACABr分析：因为AB为⊙O2的切线，故AB2＝AP·AC，欲证21221rrACABr，只须证121rrACAPr，连结O1O2，可知点P在O1O2上，通过△O1AP∽△O2CP即可获证。证明：连结AO1，O2C，O1O2∵⊙O1与⊙O2外切于点P，∴P点在连心线O1O2上。∵O1A＝O1P，O2C＝O2P∴∠O1AP＝∠O1PA，∠O2CP＝∠O2PC又∠O1PA＝∠O2PC∴∠O1AP＝∠O2CP∴△O1AP∽△O2CP∴＝＝∵AB切⊙O2于B点，∴AB2＝AP·AC7∴＝＝＝1＋＝1＋∴21221rrACABr例5、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PT切⊙O1于A，交⊙O1于P，PB的延长线交⊙O1于C，CA的延长线交⊙O2于D，E是⊙O1上一点，且AE＝AC，EB的延长线交⊙O2于F，连结AF、DF、FD。求证：(1)△PAD为等腰三角形；(2)DF∥PA；(3)AF2＝PB·EF分析：(1)要证△PAD为等腰三角形，可连结AB，利用公共弦将两圆中的角有机地联系起来，不难得到∠DAP＝∠TAC＝∠ABC＝∠PDA(2)要证DF∥PA，可设法证明∠FDP＝∠DPA，易知∠EDP＝∠EBP＝∠EBC＝∠EAC，连结EC，证明△ADP∽△EAC即可。(3)由切割线定理可得PA2＝PB·PC，可设法证明AF＝AP，EF＝PC，即可获证。证明：连结AB、EC(1)∵AT切⊙O1于A，∴∠TAC＝∠ABC(弦切角定理)又∠ABC＝∠PDA(圆内接四边形的性质定理)∴∠TAC＝∠PDA∵∠TAC＝∠PAD(对顶角)∴∠PDA＝∠PAD∴PD＝PA∴△PDA为等腰三角形。(2)∵AE＝AC∴△AEC为等腰三角形又△PDA为等腰三角形，且∠AEC＝∠ABC，∠ABC＝∠PDA∴∠AEC＝∠PDA∴△AEC∽△PDA(相似三角形判定定理1)∴∠EAC＝∠DPA又∠EAC＝∠EBC＝∠FBP＝∠FDP∠EFP＝∠DPADF∥PA8(3)∵AE＝AC∠AEF＝∠ACP∠APC＝∠AFE∴△APC∽△AFE∴AF＝AP，EF＝PC又PA2＝PB·PC(切割线定理)∴AF2＝PB·EF例6、如图⊙O1和⊙O2相交于A、B，过A作直线交⊙O1于C，交⊙O2于D，M是CD中点，直线BM交⊙O1于E，交⊙O2于F。求证：ME＝MF。分析：要证ME＝MF，结合已知MC＝MD，若连结CE、DF，只需证△CME∽△DMF，连结公共弦AB，以两圆的公共圆周角∠ABE为“桥梁”，可证得∠C＝∠D。证法一：连结CE、DF、AB，∵∠C＝∠ABE，∠D＝∠ABE，∴∠C＝∠D又∵CM＝DM，∠CMF＝∠DMF∴△CME∽△DMF∴ME＝MF分析二：考虑到ME是⊙O1中相交两弦CA、EB被交点分成的一段，MF是M向⊙O2所引割线，因此可用圆幂定理来证明。证法二：在⊙O1中，∵弦CA、EB相交于点M∴EM·MB＝CM·MA在⊙O2中，∵MAD、MFB是⊙O2的两割线∴MF·MB＝MA·MD∵MC＝MD∴ME·MB＝MF·MB∴ME＝MF例7、已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何?9解：设大圆半径R=5x∵两圆半径之比为5:3，∴小圆半径r=3x，∵两圆内切时圆心距等于6，∴5x-3x=6，∴x=3，∴大圆半径R=15，小圆半径r=9，当两圆圆心距dl=24时，有dl=R+r，∴此时两圆外切；当两圆圆心距d2=5时，有d2R-r,∴此时两圆内含；当两圆圆心距d3=20时,有R-rd3R+r,∴此时两圆相交；当两圆圆心距d4=0时，两圆圆心重合，两圆为同心圆．说明：注重两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力和数形结合能力．例8、（武汉市，2002）已知：如图，⊙O和⊙O1内切于A，直线OO1交⊙O于另一点B，交⊙O1于另一点F，过B点作⊙O1的切线，切点为D，交⊙O于C点，DE⊥AB垂足为E．求证：(1)CD＝DE；(2)若将两圆内切改为外切，其他条件不变，(1)中的结论是否成立?请证明你的结论．证明：（1）连结DF、AD，∵AF为⊙O1的直径，∴FD⊥AD，又DE⊥AB，∴∠DFE=∠EDA，∵BC为⊙O1的切线，∴∠CDA=∠DFE，∴∠CDA=∠EDA，连结AC，∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，又AD公共，∴Rt△EDA≌Rt△CDA，10∴CD＝DE．（2）当两圆外切时，其他条件不变，(1)中的结论仍成立．证法同（1）．说明：①此题应用“如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上”、双垂直、弦切角、全等三角形等知识；②第（2）问是开放性问题．例9、已知两相交圆的半径分别为8cm和5cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距．解：分两种情况：（1）如图1，设⊙O1的半径为r1=8cm，⊙O2的半径为r2=5cm．圆心Ol，02在公共弦的异侧．∵O1O2垂直平分AB，∴AD=12AB=3cm．连O1A、O2A，则2222118355ODOAAD,．（cm）．（2）如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧，同理可求02D=4cm，01D=55（cm）．（cm）．说明：本题要求我们自己作图计算，究竟两圆的圆心在公共弦的同侧，还是异例题设中没有交待，需要我们自己去研究．因此，凡做到没有图形的几何题时，要特别当心，有可能有几种位