数值分析历年试卷

数值计算方法课程考试卷I类题号一二三四五六七合计满分2014141415158100实得分一．填空（共20分，每空2分）（1）1511A，则A的谱半径)(A，A的1)(Acond。（2）设,2,1,0,,53)(2kkhxxxfk，则],,[21nnnxxxf和],,,[321nnnnxxxxf。（3）向量|||2|||,),,(321321xxxxxxxT是不是一种向量范数？（填是或不是）。|||3|321xxx是不是一种向量范数？（填是或不是）。（4）设0)]([kkxq是区间[0,1]上权函数为xx)(的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0xq，则10)(dxxxqk，)(2xq。（5）设11001aaaaA，当a()时，必有分解式TLLA，其中L为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(ilii满足条件时，这种分解是唯一的。二．（14分）设49,1,41,)(21023xxxxxf，（1）试求)(xf在49,41上的三次Hermite插值多项式)(xH使满足)()(jjxfxH，)(,)(')(',2,1,011xHxfxHj以升幂形式给出。（2）写出余项)()()(xHxfxR的表达式。三．（14分）设有解方程0cos2312xx的迭代法nnxxcos3241，（1）证明Rx0均有*lim1xxnn（*x为方程的根）；（2）取40x，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过310，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。四（14分）试确定常数CBA,,和，使得数值积分公式)()0()()(22CfBfAfdxxf有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？五．（15分）设有常微分方程的初值问题00)(),('yxyyxfy，试用Taylor展开原理构造形如)()(11011nnnnnffhyyy的两步方法，使得它具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。六．（15分）已知方程组bAx，其中21,13.021bA，（1）试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性（2）若有迭代公式)()()()1(bAxxxkkk，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛。七．理论题（8分）方程组bAx，其中nnRA，A是对称的且非奇异。设A有误差A，则原方程组变化为bxxAA))((，其中x为解的误差向量。试证明22122||||||||||||||||AAxxxn其中1和n分别为A的按模最大和最小的特征值。