数值分析试卷10计科专升本(B)卷参考答案

试卷第1页共6页数值分析2012－2013第1学期10计算专升期末试卷B参考答案及评分标准一、判断题（每小题2分，共20分）1、T2、F3、T4、T5、T6、T7、T8、T9、T10、T二、计算题（每题8分，共40分）１、设有微分方程102'yyxyy。设步长为0.1，用Euler方法，计算4.0,3.0,2.0,1.0yyyy的近似值：4.03.02.01.0,,,yyyy解：记步长为1.0h。Euler方法是以nnyx,为起点，以nnnnyxyy2'为切线，构造直线，并以所构造直线在1nx点处的值1ny作为1nxy的近似，写成表达式有nnnnnyxyhyy21（4分）依次计算的结果3582.1,2774.1.0,1918.1,1000.1,14.03.02.01.00yyyyy（8分）２、设xxfln，已知2231.08.0,3578.07.0,5108.06.0,6931.05.0,9163.04.0fffff试用线性插值及二次插值计算54.0ln的近似值，并估计误差。解：（1）因为0.54介于0.5与0.6之间，为了进行内插值，所以选取6.0,5.010xx为插值节点，构造插值基函数：5.0106.01001011010xxxxxxlxxxxxxl插值函数为：5.0108.56.0931.61xxxL试卷第2页共6页并有余项：6.0,5.0,211021xxxxxR所以0.00486.054.05.054.05.0*2154.0-0.620185.054.0108.56.054.0931.654.054.0ln211RL（4分）（2）选取节点6.0,5.0,4.0210xxx，构造二次插值基函数6.04.0506.04.01006.05.050120210221012012010210xxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxl有插值函数：xlxlxlxL21020.5108-0.6931--0.9163有余项：6.0,4.0,!3121032xxxxxxxR所以0.0008756.054.05.054.04.054.04.06154.0-0.6152720.143024-0.582204-0.10995654.054.0ln322RL（8分）３、设有实验数据963.20475.18844.16094.1428.295.173.136.1iiyx试求y与x的函数关系。解：由图上可以看出y与x大致呈线性关系。设baxy记412,iiiybaxba，现在的目标是确定ba,使ba,达到最小。为此，令试卷第3页共6页0422,022,414141414141241iiiiiiiiiiiiiiiiiiybxaybaxbbaxyxbxaxybaxaba写成矩阵的形式有376.7012985.132432.732.78434.13ba（5分）解之，得4626.7,9374.3ba，即y与x的函数关系大致为4626.79374.3xy（8分）４、用Newton迭代法求方程12xxxf在2,1上的一个根，并用5.10x做４次迭代计算。解：对xf求导，有12'xxf，构造Newton迭代格式5.1121'021xxxxxxfxfxxkkkkkkkk（4分）作4次迭代的结果为91.6180339812191.6180339812161.618055551211.625012133234222231121200201xxxxxxxxxxxxxxxx（8分）５、用LU分解的方法求下列两个方程组的解1233303021112321xxx与1213303021112321xxx解：记1213123330302111221bbA，则原方程组可表示为试卷第4页共6页2211,bAXbAX对A作LU分解有LUA5212311211231211303021112（4分）记11YUX，解得TY152331，求解11YUX，得3211X。记22YUX，解得52532Y，求解22YUX，解得1232X。（8分）三、综合计算题（每题16分，共16分）１、设有线性方程组36332012361114238321xxx试求（1）给出解线性方程组的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代矩阵（2）判断解线性方程组的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的收敛性；（3）选取收敛速度较快的一种迭代方法，取TX1,1,10进行四次迭代计算解：（1）分别记Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代矩阵为GJ,，则0000.30000.35000.204121111011441830JfJ2273.10909.25000.20.0795460.15341-00.1818180.13636-00.25-0.3750GfG（6分）（2）系数矩阵是严格对角占优的，所以Jacobi迭代、G-S迭代都是收敛的。（10分）试卷第5页共6页（3）J的三个特征值为：iiJJJ3245.01541.03245.01541.03082.0321所以J的谱半径为3592.0JG的三个特征值为iiGGG1274.00284.01274.00284.00321所以G的谱半径为1306.0G由于GJ所以Gauss-Seidel迭代收敛速度快于Jacob迭代的收敛速度，取Gauss-Seidel迭代，以TX1,1,10为初始向量，计算四次的结果为TTTTTXXXXX0000.1,0000.2,9999.20003.1,0000.2,9995.29979.0,9971.1,0057.39913.0,0093.2,0128.31534.1,1364.2,6250.254321（16分）四、应用题（每题12分，共24分）１、尝试只用加、减、乘、除四种运算，计算0,cc的近似值，并以实例说明。解：（1）因为c是方程02cx的根，所以可以用求根的方法求c的近似值，记cxxf2，则xxf2'，构造迭代格式kkkkkkkkkxcxxcxxxfxfxx222'21这个算法中只含有乘法、除法与加法运算。另外，由此构造的序列kx，满足kkqqccxk2212其中cxcxq00，显然当00x时，总有1||q，所以cxkklim（8分）（2）取1,20xc，用上述迭代法，计算5次的结果为试卷第6页共6页21.414213561221.414213561261.414215681271.41666666121.500001214453342231120010xxxxxxxxxxxxxxxx（12分）２、试用数值积分的方法计算1,lnxx的近似值。解：（1）因为xdttx11ln，于是可以利用数值积分算法计算xln的近似值。如果用龙贝格算法，其算法过程为：将区间],1[x分为n等分，计算：nabhxfxfxfhxfxfhTnniiniiin,222110101计算nnnnnnnnnCCRSSCTTS631636415115163134222并以nR作为xln的近似值。（8分）（2）以2x为例，采用复化梯型求积公式，其过程如下：2112lndxx，记xxf1，2,1,ba，做4等分，节点为2,75.1,5.1,25.1,143210xxxxx，对应的函数值为5.0,5714.0,6667.0,8.0,143210xfxfxfxfxf所以0.6970255.05714.06667.08.021125.02222ln43210301130211xfxfxfxfxfhxfxfxxdxxfdxxfiiiiiixxii其误差为0.01042max25.01212ln21244xfTTRx（12分）