数值方法试卷及答案

1-7《数值计算与MATLAB语言》2003-2004第1学期试卷A(一页开卷考试)**************************数值计算试题***********************************1.取y0=30,按递推公式11783100nnyy去计算y100,若取78327.982(五位有效数字),试问计算y100将有多大的误差?[8分]2.2.用对分区间法求解方程x3-2x2-1=0在2.2附近的实根，准确到三位有效数字。[9分]3.用LU分解求下列方程组：[8分]123235111921263xxx4.对下述矩阵计算12,,:[4分×2]13(1)241012(2)01AB5.10.990.990.98A，请计算它的条件数和特征值.[8分]6.给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是l2(x)的图像，并简要说明理由？[4分]2-77.用拉格郎日插值找经过点(-3,-1),(0,0),(3,1),(6,2)的三次插值公式[10分]8、用最小二乘原理求一个形如y=a+bx2的经验公式,使与下列数据相拟合[10分]x1925313844y1932.34973.397.89、已知数表x1.82.02.22.42.6f(x)3.120144.425696.042418.0301410.46675计算积分2.61.8()fxdx（12分）（1）用复化梯形公式；（2）用复化辛甫生公式；（3）用牛顿-柯特斯公式。10、用欧拉法求解下列常微分方程（取h=0.2，在区间[0,0.6]上计算）（8分）1)0('2yxyyy*****************************MATLAB语言试题*****************************11.传入一个方阵A，编写一个自定义函数“test1”完成如下的功能：[8分]1）把A的主对角线元素写入文本文件“abc.txt”中；2）把B中的元素进行随机初始化（B的行列数与A相同）；3）从文本“abc.txt”中读取元素到矩阵C，把C中每个元素值均加100；4）分别计算：D=B*C；E=B.*C；5）把矩阵D和E作为传出的参数传出。12.编写一个自定义函数求解任一函数的导数,要求函数形式为dy=ddf(x,e).[7分]其中,e为误差精度,dy为x对应的f(x)的导数值.f(x)为被求导的函数.3-7《数值计算与MATLAB语言》2003-2004第1学期试卷A参考答案(一页开卷考试)**************************数值计算试题***********************************1.取y0=30,按递推公式11783100nnyy去计算y100,若取78327.982(五位有效数字),试问计算y100将有多大的误差?[8分]解:111011001[2](783)[2]100[2]0[2]100nnneyyynyy分分分分2.用对分区间法求解方程x3-2x2-1=0在2.2附近的实根，准确到三位有效数字。[9分]解：对方程左边的函数进行预处理知在2.2附近取x1=2.1，x2=2.3，对应的y1=-0.559，y2=0.587，符合对分区间法的要求[3分]。迭代过程如下：[4分]3(12)/22.23(3)0.0324(32)/22.254(4)0.26565(34)/22.2255(5)0.11396(35)/22.21256(6)0.04027(36)/22.206257(7)0.00398(37)/22.2031258(8)0.01xxxyfxxxxyfxxxxyfxxxxyfxxxxyfxxxxyfx41因此，准确到三位有效数字，得方程的根为x=2.203125。[2分]3.用LU分解求下列方程组：[8分]123235111921263xxx解：由LU分解的元素计算公式，对系数矩阵进行分解得L和U矩阵如下：[4分]1002350.51000.56.50.511002LU由LY=b进行回代，得：Y=(1,1.5,4)T。[2分]代入方程组UX=Y得：X=(49,-29,-2)T。[2分]4-74.对下述矩阵计算12,,:[4分×2]13(1)241012(2)01AB解：（1）6,7,5.465（2）12,23,15.65255.10.990.990.98A，请计算它的条件数和特征值.[8分]解：考察A的特征根：12122det()01.9800505040.000050504()392061IAcondA6.给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是l2(x)的图像，并简要说明理由？[4分]解：C图像。(略)7.用拉格郎日插值找经过点(-3,-1),(0,0),(3,1),(6,2)的三次插值公式[10分]解：按照拉格朗日插值公式，得到如下的表达式：（每个li表达式各占2分，结论2分）5-7012330(3)(6)1(3)(6)3(33)(36)162(3)(3)(6)1(3)(3)(6)3(3)(6)54(3)(6)1(3)(6)(33)3(36)54(3)(3)1(3)(3)(63)6(63)162()()1*()0*jjxxxlxxxxxxlxxxxxxlxxxxxxlxxxxylxlxl31230()1()2()jxlxlx8、用最小二乘原理求一个形如y=a+bx2的经验公式,使与下列数据相拟合（10分）x1925313844y1932.34973.397.8解：按照最小二乘原理，得：[原理2分；正规方程4分；系数解2分；最终表达式2分]05.001.15.369321727769953274.2715327550)(20)(2),()(5125145125151251225125122512bababaxybxaxybxaxbxaybbxayababxayiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii所以，表达式为：y=1.01+0.05x29、已知数表x1.82.02.22.42.6f(x)3.120144.425696.042418.0301410.46675计算积分2.61.8()fxdx（12分）（1）用复化梯形公式；（2）用复化辛甫生公式；（3）用牛顿-柯特斯公式。解：h=0.26-7分）（405834.5}46675.10)03014.804241.642569.4(212014.3{*1.0)}6.2()]4.2()2.2()0.2([2)8.1({2)1(4fffffhT分）（403300.5}46675.10)03014.842569.4(*404241.6*212014.3{*3/2.0)}6.2()]4.2()0.2([4)2.2(2)8.1({3)2(2fffffhS分）（403292.5}46675.10)03014.842569.4(*3204241.6*1212014.3*7{908.0)}6.2(7)4.2(32)2.2(12)0.2(32)8.1(7{904)3(fffffhI10、用欧拉法求解下列常微分方程（取h=0.2，在区间[0,0.6]上计算）（8分）1)0('2yxyyy分）分）分）分）(24614321.0)6.0((26144.0)4.0((28.0)2.0(1(22.08.0)(2.0),(3210221yyyyyyyyxyyxyyyxhfyynnnnnnnnnnn*****************************MATLAB语言试题*****************************11.传入一个方阵A，编写一个自定义函数“test1”完成如下的功能：[8分]1）把A的主对角线元素写入文本文件“abc.txt”中；2）把B中的元素进行随机初始化（B的行列数与A相同）；3）从文本“abc.txt”中读取元素到矩阵C，把C中每个元素值均加100；4）分别计算：D=B*C；E=B.*C；5）把矩阵D和E作为传出的参数传出。解：自定义函数如下：(语法格式3分)function[D,E]=test1(A)[2分]a1=diag(A);saveabc.txta1-ascii;[1分]B=random(size(A));C=load(‘abc.txt’);[1分]7-7C=C+100*ones(size(C));[1分]D=B*C;E=B.*C;12.编写一个自定义函数求解任一函数的导数,要求函数形式为dy=ddf(x,e).[7分]其中,e为误差精度,dy为x对应的f(x)的导数值.f(x)为被求导的函数.解:functiony=f(x)[2分]%自定义函数以sin(x)为例y=sin(x)functiondy=ddf(x,e)[1分]dx=1;dy0=f(x+dx)-f(x);[1分]dx=dx/2;dy1=(f(x+dx)-f(x))/dx;while(abs(dy1-dy0)e)[2分]dy0=dy1;dx=dx/2;dy1=(f(x+dx)-f(x))/dx;[1分]enddy=dy1;