数值逼近第三章样条插值和曲线拟合

样条插值和曲线拟合2．，作4次多项式的等距插值，求，并比较与的差别，如果用分段插值，那么结果将如何？解：（1）先作差商表所以：，故：。（2）若采用分段插值，则在上，，所以：，结果一样。4．对在中用等距分段Hermite3次插值，其余项是什么？解：若对在中用等距分段Hermite3次插值，则在每个小区间上，由第二章定理8知：由于，所以在上，注意右端与无关，故在上，有：。5．对函数，在区间上用等距线性插值、等距Hermite3次插值、等距样条插值，问步长应取多少才能保证各自的截断误差小于？解：因为，所以，因此。若在区间上用等距线性插值，则误差为：欲使，只须。若在区间上用等距Hermite3次插值，则误差为：欲使，只须若在区间上用等距样条插值，则由定理5，有：欲使，只须。7．对，在上取5个等距节点，求3次自然样条插值。解：取节点，作差商表：对于自然样条，，按公式（10）形成方程组：解得：。由（9）式即得样条函数的表达式（略）。11．对于3次样条函数，如果给定的条件是，如何给出边界条件使得唯一确定。解：由于在上是3次多项式，故在上是1次多项式，而且满足，因此可表示为于是积分两次并利用（为未知量）可定出积分常数：事实上，积分两次后，记，再由可定出。于是：即：若考虑在上，有两边的应相等，即：，整理并记，得：若给定边界条件，则形成方程组：该方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，故唯一确定。12．若是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上的函数，它在上是一个二次多项式，并且是已知值，又在内节点上连续，这样的称为二次样条插值。试证这样的二次样条插值有很多，并问加上何种条件才能使它唯一，给出求的方程。解：由于在每个小区间上，有3个待定系数，于是在上共有个待定系数，。要满足的条件是：通过型值点：，共有个方程；的一阶导数连续，即共有个方程。这样总共有个方程，而待定系数有个，于是可以有很多。若要使它唯一确定，加上即可。事实上：考虑在上是一个二次多项式，可以写成：，若记为未知量，则：，再由得，故，再由得：再由为已知，从而由，可求得，且由递推关系知是唯一确定的。15．证明满足周期边界条件的3次样条插值函数也具有极小模性质，即：，其中是二阶导数连续函数，且，，。证：设是二阶导数连续，且满足，，的任意一个函数，令，则。由：得：故：。证毕16．证明：贝齐尔曲线。证：因17．对于贝齐尔曲线，若要求，问应是什么？解：由得：，即：，再由得：，解得：18．利用作图定理证明：。证：利用数学归纳法。当时：成立。假设当时有：，则当时：故由数学归纳法知，对任意有：。19．证明：。证：因为：，两边求导得：故：。