数分选讲讲稿第30讲

1讲授内容备注第三十讲二、多元函数连续性1．连续性的证明例8设()fx及()gy分别在区间[,],[,]abcd上连续．定义(,)()()(,)xyacFxyfsdsgtdtaxbcyd试用方法证明：(,)Fxy在(,)|,Dxyaxbcyd内连续．证()fx及()gy分别在[,],[,]abcd上连续，0M，使得(),()fxMgyM(,)axbcyd于是00(,)xyD，00(,)(,)FxyFxy00()()()()xyxyacacfsdsgtdtfsdsgtdt0()()()()xyxyacacfsdsgtdtfsdsgtdt000()()()()xyxyacacfsdsgtdtfsdsgtdt000()()()()xyxyxcayfsdsgtdtfsdsgtdt00|()||()||()||()xdbyxcayfsdsgtdtfsdsgtdt2200()||()||MdcxxMbayy记max,badc，于是20,02M，则当00||,||xxyy时，恒有00(,)(,)FxyFxy．3学时补充二元函数连续的定义2补充命题：()fP在0P处不连续的充要条件是：00及点列nP，虽然0()nPPn，但00()()nfPfP．例9设(,,)ufxyz在闭立方体[,;,;,]Dababab上连续．试证：(,)max(,,)azbgxyfxyz在正方形2[,;,]abab上连续．证（用反证法）假设(,)gxy在某点00(,)[,;,]xyabab处不连续，则00及点列00(,):(,)(,)()nnnnxyxyxyn，使得000(,)(,)(1,2,)nngxygxyn(1)(,,)fxyz在D上连续，必在D上一致连续．对00，0，当||,||,||xxyyzz时，恒有0(,,)(,,)fxyzfxyz特别当00||,||,xxyyzz时，有000(,,)(,,)[,]fxyzfxyzzab即000000(,,)(,,)(,,)fxyzfxyzfxyz固定,xy，让z在[,]ab上变化，取最大值，可得000000(,)(,)(,)gxygxygxy即00||,||xxyy时，000(,)(,)gxygxy．00(,)(,)()nnxyxyn对0，0N，当nN时，有00||,||nnxxyy3从而有000(,)(,)nngxygxy．与(1)式矛盾．2．连续与按单变量连续的关系函数(,)fxy连续必按单变量连续．反之，按各单变量连续(,)fxy不一定连续．在补充某种条件之后，才能保证连续．例10若(,)fxy分别是单变量x及y的连续函数，对其中一个变量是单调的，则(,)fxy是二元连续函数．证设(,)fxy分别是单变量x及y的连续函数，且关于y单调增加．设00(,)xy是(,)fxy定义域2内的任意一点．(,)fxy关于y连续，所以10,0，当01||yy时，有000(,)(,)2fxyfxy(1)对于点001(,)xy及001(,)xy，由于(,)fxy关于x连续，从而01(,)fxy在0x连续．对上述20,0，当02||xx时，有0100101001(,)(,)2(,)(,)2fxyfxyfxyfxy(2)令12min,0则在00(,)xy的方形邻域00(,)|||,||xyxxyy上，(,)fxy关于y单调增加(2)000(,)(,)(,)2fxyfxyfxy4(1)0000(,)(,)22fxyfxy000(,)(,)(,)2fxyfxyfxy0000(,)(,)22fxyfxy．所以在方形邻域上，有0000(,)(,)(,)fxyfxyfxy即00(,)(,)fxyfxy于是(,)fxy在00(,)xy点连续．由00(,)xy的任意性知，(,)fxy连续．例11设所论区域上的函数(,)fxy分别对x，y连续．试证：在下列条件之一满足时，(,)fxy连续．1)(,)fxy对x连续，关于y一致；（即0,0,x0(,)0x，当0||xx时，对一切y，恒有0(,)(,)fxyfxy）2)(,)fxy对y连续，关于x一致；3)特别，若对其中一个变量满足Lipschitz条件；（如对y满足Lipschitz条件，即0L，使得12,,yyx，有1212(,)(,)||fxyfxyLyy）4)设所考虑的范围是某个有界闭区域D，而(,)fxy在包含D的某个区域G上有意义，且在G上对变量x或y满足局部Lipschitz条件（如对y满足局部Lipschitz条件，即00(,),xyG邻域500(,)UxyG及0L，使得1200(,),(,)(,)xyxyUxy，有1212(,)(,)||fxyfxyLyy）证1)设(,)fxy对x连续，关于y一致．00110(,),0,(,)0xyx（与y无关）当01||xx时，对一切y，恒有0(,)(,)2fxyfxy又在00(,)xy处，0(,)fxy对y连续，于是对上述20,0，当02||yy时，有000(,)(,)2fxyfxy取12min,0，则当00||,||xxyy时，有00(,)(,)fxyfxy0000(,)(,)(,)(,)fxyfxyfxyfxy22由00(,)xy的任意性，这就证明了(,)fxy的连续性．2)类似1)．3)可从Lipschitz条件导出1)或2)．4)可从条件4)导出条件1)（用有限覆盖定理）．例12在凸域D上，(,),(,)xyfxyfxy有界．则函数(,)fxy在D上连续．证00(,)xyD，由于D是凸域，则点0(,)xy，0(,)xy至少有一个在D内．不妨设0(,)xy在D内，于是有00(,)(,)fxyfxy60000(,)(,)(,)(,)fxyfxyfxyfxy已知(,),(,),0,(,)xyfxyMfxyMMxyD所以(,)fxy在0[,]xx（或0[,]xx），0[,]yy（或0[,]yy）上可导，由Lagrange中值定理000(,)(,)(,)||||yfxyfxyfxyyMyy介于0,yy之间000000(,)(,)(,)||||xfxyfxyfyxxMxx介于0,xx之间0000(,)(,)||||fxyfxyMxxyy于是0,02M，当00||,||xxyy时，有00(,)(,)22fxyfxyMMM．则(,)fxy在0(,)xy处连续．由00(,)xyD的任意性，(,)fxy在凸域D上连续．注：由上题的证明过程可看出，满足题目的条件，可推出(,)fxy在凸域D上一致连续．7