数分选讲讲稿第37讲

1讲授内容备注第三十七讲三、含参变量广义积分的极限与连续性2．含参变量广义积分的连续性1)利用连续性守恒定理定理若i)(,)fxy在xa，[,]ycd上连续；ii)(,)afxydx关于[,]ycd上一致收敛．则()(,)agyfxydx在[,]ycd上连续．2)利用该定理的推论若i)(,)fxy在xa，(,)ycd（有限或无穷区间）上连续；ii)(,)afxydx在(,)ycd内闭一致收敛．则()(,)agyfxydx在(,)ycd内连续．例21确定函数30ln(1)()xgdxx的连续范围．解3331001ln(1)ln(1)ln(1)()xxxgdxdxdxxxx12II其中1I以0x为瑕点，且33ln(1)1xxx，（当0x时）．所以当且仅当31时，即4时，1I收敛．对于321ln(1)xIdxx，当0t时，0033ln(1)ln(1)limlim0ttxxxxxxx于是当且仅当1t，11t时，2I收敛．因此，原积分()g当且仅当14收敛．3学时33ln(1)xx，（0x）注：这是()g的定义域，不是连续区间．()g不是初等函数，在定义域上不一定连续．2333000ln(1)limlimlimxxxxxxxx要使上述极限存在，30，即3．则3ln(1)(,)xfxx在0,(1,3]x时连续．其次，设[,](1,3]ab为内闭区间．对于积分1I（以0x为瑕点），01x，13ab333ln(1)ln(1)ln(1)bxxxxxx且310ln(1)bxdxx收敛．由于在放大不等式时，只用到3b，所以积分1I在b时一致收敛．对于积分2I，这时1x，1a333ln(1)ln(1)ln(1)axxxxxx（1a）且31ln(1)axdxx收敛，由于在放大不等式时，只用到1a，所以积分2I在1a时一致收敛．所以()g在[,](1,3]ab上一致收敛．即()g在(1,3]内闭一致收敛．()g在(1,3]内连续．例22若()fxdx存在．证明函数()()cosgfxxdx在(,)上一致连续．证要证明()g在(,)上一致连续，即要证明0,0，当21时，21()()gg．30A，当AxA时212121coscos2sinsin22xxxx2121||xA21()()gg21()cos()cosfxxdxfxxdx21|()||coscos|fxxxdx21|()||coscos|Afxxxdx21|()||coscos|Afxxxdx21|()||coscos|AAfxxxdx212|()|2|()||||()|AAAAfxdxfxdxAfxdx(1)已知()fxdx存在，当0A充分大时，有2|()|2|()|2AAfxdxfxdx(2)至此将A固定，取2()Afxdx，当21时，21|||()|2AAAfxdx(3)由(1)、(2)、(3)知，21()()22gg．证毕．四、含参变量广义积分积分号下求导与积分号下求积分1．积分号下求导含参变量广义积分()(,)agyfxydx实现积分号下求导，只需验证如下条件：（设I为某个区间）i)(,),(,)yfxyfxy在,axyI上连续；ii)(,)afxydx在yI上收敛；iii)(,)yafxydx在yI上一致收敛；[若I为开区间，或4半开半闭区间，不论有限或无穷，此条件可放宽为(,)yafxydx关于yI上内闭一致收敛]则()(,)(,)yaagyfxydxfxydxyI．若补充条件：当yI时，函数()ya，连续可导，则()()(,)(,)((),)()yyyfxydxfxydxfyyyyI．对于(,)bfxydx以及无界函数的广义积分，有类似结论．例23求()g，设221arctan()1xgdxxx．(1)解011x为瑕点，arctan2x被积函数在1x时，与211x同阶，而2211dxx收敛．被积函数在x时，与31x同阶，而32dxx收敛．所以原积分()g收敛．022222211arctan11(1)xdxdxxxxxx(2)而2222111111xxxxx(,)且211dxxx收敛．故积分(2)关于(,)一致收敛．0322arctan(,)1xfxxx，22211(,)11fxxxx在1x，(,)上的连续性明显．5因此sec22222210()1sec1(1)xtdxdtgtxxxtan2220111(1)1utduuu222220111duuu2200arctanarctan11uu2sgn2212||121．例24设2222()xtxFxeedt，[0,)x试证：1)lim()0xFx；2)()Fx在[0,)内单调递减．证1)应用罗必塔法则22222222lim()limlim()txxxxxxxedteFxeex1lim0xx．2)22222222()()xtxxxFxexedtee2221xtxxedt22222211xtxttxtxtedte1106所以，()Fx在[0,)内单调递减．2．积分号下求积分含参变量广义积分()(,)agyfxydx实现积分号下求积分，只需验证如下条件：i)(,)fxy在,caxyd上连续；ii)(,)afxydx对[,]ycd一致收敛．则(,)(,)ddcaacdyfxydxdxfxydy．另外：若i)(,)fxy在,axyc上连续；ii)(,)afxydx在[,)yc上内闭一致收敛；(,)afxydx在[,)xa上内闭一致收敛；iii)|(,)|cadyfxydx及|(,)|acdxfxydy至少有一个收敛．则(,)(,)caacdyfxydxdxfxydy．例25计算积分0cosaxbxeeImxdxx(,0)ab．解axbxbxaeeedx(,)cosxfxemx[,],[0,)abx而0cosxemxdx对[,]ab一致收敛，所以00coscosaxbxbxaeeImxdxdxemxdx0cosbxademxdx222222221ln()21ln2bbaadmmbmam7例26试利用22200uxuxeduedx(0)(1)计算积分20ed．解(1)表明220()xgedx是取常数的函数．记20Ied则22200IIedIed22200xedxed22(1)00xdxed22(1)2001121xedxx200111arctan2124dxxx所以2I．