数列基础知识点

数列基础知识点1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1nnnnadaaa则常数满足称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1dknadnaakn3°.前n项和公式：公式：.2)1(2)(11dnnnaaanSnn②等比数列：1°.定义若数列qaaannn1}{满足（常数），则}{na称等比数列；2°.通项公式：;11knknnqaqaa3°.前n项和公式：),1(1)1(111qqqaqqaaSnnn当q=1时.1naSn2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321nnaaaaa1°.若}{na是等差数列，则;23121nnnaaaaaa2°.若}{na是等比数列，则.23121nnnaaaaaa②中项及性质：1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且;2baA2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且.abG③设p、q、r、s为正整数，且,srqp1°.若}{na是等差数列，则;srqpaaaa2°.若}{na是等比数列，则;srqpaaaa④顺次n项和性质：见习题册page28复习题B组第2题：1°.若}{na是公差为d的等差数列，nknnknnkkkkaaa121312,,则组成公差为n2d的等差数列；2°.若}{na是公差为q的等比数列，nknnknnkkkkaaa121312,,则组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）⑤若}{na是等比数列，则顺次n项的乘积：nnnnnnnaaaaaaaaa3221222121,,组成公比这2nq的等比数列.学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或qa，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,mamamamamamamaa或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aqaqqaqaaqaqaqa或”等等；例题：三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a－d,a,a+d，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或adddddaadddadaaadada（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[解析]设此四数为)15(15,5,5,15aaaaa,2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222amamamamamamamamamammaNmmaaaa且均为正整数与解得),(1262不合或aa所求四数为47，57，67，77复习试卷一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A）为常数数列（B）为非零的常数数列（C）存在且唯一（D）不存在2.、在等差数列na中，41a,且1a,5a,13a成等比数列，则na的通项公式为（）（A）13nan（B）3nan（C）13nan或4na（D）3nan或4na3、已知cba,,成等比数列，且yx,分别为a与b、b与c的等差中项，则ycxa的值为（）（A）21（B）2（C）2（D）不确定4、互不相等的三个正数cba,,成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么2x，2b，2y三个数（）（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列na的前n项和为nS,nnSn24212,则此数列的通项公式为（）（A）22nan（B）28nan（C）12nna（D）nnan26、已知))((4)(2zyyxxz，则（）（A）zyx,,成等差数列（B）zyx,,成等比数列（C）zyx1,1,1成AP（D）zyx1,1,1成GP7、数列na的前n项和1nnaS，则关于数列na的下列说法中，正确的个数有（）①一定是等比数列，但不可能是等差数列②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A）4（B）3（C）2（D）18、数列1,1617,815,413,21,前n项和为（）（A）1212nn（B）212112nn（C）1212nnn（D）212112nnn9、若两个等差数列na、nb的前n项和分别为nA、nB，且满足5524nnBAnn，则135135bbaa的值为（）（A）97（B）78（C）2019（D）8710、已知数列na的前n项和为252nnSn,则数列na的前10项和为（）（A）56（B）58（C）62（D）6011、已知数列na的通项公式5nan为,从na中依次取出第3，9，27，…3n,…项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为（）（A）2)133(nn（B）53n（C）23103nn（D）231031nn12下列命题中是真命题的是()A．数列na是等差数列的充要条件是qpnan(0p)B．已知一个数列na的前n项和为abnanSn2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C．数列na是等比数列的充要条件1nnabaD．如果一个数列na的前n项和cabSnn)1,0,0(bba,则此数列是等比数列的充要条件是0ca二、填空题13、各项都是正数的等比数列na，公比1q875,,aaa,成等差数列，则公比q=14、已知等差数列na，公差0d,1751,,aaa成等比数列，则18621751aaaaaa=15、已知数列na满足nnaS411,则na=16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为二、解答题17、已知数列na是公差d不为零的等差数列，数列nba是公比为q的等比数列，46,10,1321bbb，求公比q及nb。18、已知等差数列na的公差与等比数列nb的公比相等，且都等于d)1,0(dd,11ba，333ba,555ba,求nnba,。19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。20、已知na为等比数列，324202,3aaa，求na的通项式。21、数列na的前n项和记为11,1,211nnnSaaSn（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,,ababab成等比数列，求nT22、已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列na的通项公式；（II）若数列nb满足121114.4...4(1)()nnbbbbnanN，证明：nb是等差数列；23.在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．24.已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．