数列求和的基本方法与技巧(高一)

1数列求和的基本方法与技巧（高一）数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧。一、公式求和法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、11123...(1)2nnkSknnn2222211123...(1)(21)6nnkSknnnn333332211123...(123...)[(1)]2nnkSknnnn练习：①2122...2______________n（注意：等比数列，共有n+1项）②123...2_______________n（注意：等差数列，共有2n项）③已知2122...2nna，{}100na则数列的前项和为__________________④数列7，77，777，7777,…，的一个通项公式为____________________例1、求和：nxxxx32解：①当x=0时，,0nS②当x=1时，,nSn③当x0,且x1时，xxxxxxSnnn1111.例2、已知3log1log23x，求nkkx1。解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nkknxS1nnnxxx211211)211(211)1(练习：设123...,nSnnN，求1()(32)nnSfnnS的最大值.二、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或2常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例3、求和:nnyxyxyx111221,1,0yxx解:原式=nxxxx32nyyy1112=yyyxxxnn1111111=nnnnyyyxxx1111注意：若条件中未给出参数的条件，则应对x=0,x=1,y=1进行讨论。例4、已知112345...(1).nnSn设，求1730512sss分析：注意123456...1解：17305028(1)17215(1)[25(1)51]47sss例5、求数列的前n项和：2111111,4,7,...,32,...nnaaa解：设)231()71()41()11(12naaaSnn21111(1)(14732)nnaaa当1a时，2)13(nnnSn＝2)13(nn当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan例6求数列)}2)(1({nnn的前n项和。解：设kkkkkkak2332)12)(1(∴nknkkkS1)12)(1(＝)32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得kkkSnknknkn1213132)21()21(3)21(2222333nnn2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn32)2()1(2nnn三、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解为(1)()nafnfn的形式，然后相互抵消，最终达到求和的目的。通常有以下情形：（1）111)1(1nnnnan（2）1111()(21)(21)22121nannnn（3）1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nannnnnnn（4）111nannnn例7、求和：11321211nn分析：由1111nnnnnnan=111nnnnnn=111nn解：原式=1111113121211nnnn=111n=1nn例9、求数列111,,...,,...12231nn的前n项和。解：设nnnnan111则11321211nnSn＝)1()23()12(nn＝11n例9、在数列{}na中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{}nb的前n项的和.解：∵211211nnnnnan∴)111(82122nnnnbn∴数列{}nb的前n项和4)]111()4131()3121()211[(8nnSn＝)111(8n＝18nn＝11n四、错位相减求和法例10、求和：nn212423132分析：原式等价于nnnn211212142132121321其中11.2nnan，象这种通项公式由等差与等比的积组成的数列（混合积数列）的前n项和，联系课本中等比数列前n项和公式的推导过程，可采用错位相减法求得.解：令nS123111111234122222nnnn①nS21234111111234122222nnnn②①－②得：23111111122222nnnnSnnnnS21212121212132111122121212nnn212122nnn332nn练习：①求和：2323nxxxnx（注意分类讨论）②求和：132)12(7531nnxnxxxS（注意分类讨论）例11、求和：.0127531132aanaaan解：①当a=1时，12531nSn22121nnn②当a1时，2311357...21nnSaaana①naS23135...2321nnaaanana②①－②得：211122221nnnaSaaana51112211nnaanaaaanaaaSnnn1121122五、对称项求和法（高斯法）这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是找到数列各项相应的对称项，两两结合相加。有时可将原数列反序排列后再与原数列相加，称为反序相加法。例12、已知1()1fxx，求111(1)(2)(3)...(2008)(1)()()...()232008ffffffff分析：1111()()111111xfxfxxxxx解：原式111[(1)(1)][(2)()][(3)()...[(2008)()]232008ffffffff111...1200812008（个相加）