数列测试题(附答案)

阶段性测试题五(数列)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(理)(2011·江西南昌市调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是()A.12B．1C．2D．3[答案]C[解析]设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋nn－12d，∴{Snn}是首项为a1，公差为d2的等差数列，∵S33－S22＝1，∴d2＝1，∴d＝2.2．(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5B．－15C．5D.15[答案]A[分析]根据数列满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)．由对数的运算法则，得出an＋1与an的关系，判断数列的类型，再结合a2＋a4＋a6＝9得出a5＋a7＋a9的值．[解析]由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)得，an＋1＝3an，∵an0，∴数列{an}是公比等于3的等比数列，∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝35，∴log13(a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5.3．(理)(2011·安徽百校论坛联考)已知a0，b0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是()A．ab＝AGB．ab≥AGC．ab≤AGD．不能确定[答案]C[解析]由条件知，a＋b＝2A，ab＝G2，∴A＝a＋b2≥ab＝G0，∴AG≥G2，即AG≥ab，故选C.[点评]在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．4．(2011·潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，12a3，a1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5的值为()A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－12[答案]C[解析]∵a2，12a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q0，∴q＝5－12.5．(2011·北京日坛中学月考)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋1＝|an－an－1|(n≥2)，则该数列前2011项的和S2011等于()A．1341B．669C．1340D．1339[答案]A[解析]列举数列各项为：1,1,0,1,1,0，….∵2011＝3×670＋1，∴S2011＝2×670＋1＝1341.6．(理)(2011·安徽皖南八校联考)设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于()A．－43B．－32C．－23或－32D．－34或－43[答案]C[解析]集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24,36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q＝－32或－23.7．(理)(2010·西南师大附中月考)在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S150，S160，则在S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的是()A.S1a1B.S8a8C.S9a9D.S15a15[答案]B[解析]由于S15＝15a80，S16＝16a1＋a162＝8(a8＋a9)0，所以可得a80，a90.这样S1a10，S2a20，…，S8a80，S9a90，S10a100，…，S15a150，…而0S1S2…S8，a1a2…a80，所以在S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的是S8a8，故选B.8．(2011·江西新余四中期末)在△ABC中，sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA是角A、B、C成等差数列的()A．充分非必要条件B．充要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA⇒2sinAsinC－sin2A＝2cosAcosC＋cos2A⇒2cos(A＋C)＋1＝0⇒cosB＝12⇒B＝π3⇒A＋C＝2B⇒A、B、C成等差数列．但当A、B、C成等差数列时，sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA不一定成立，如A＝π2、B＝π3、C＝π6.故是充分非必要条件．故选A.9．(理)(2010·海口调研)已知F1、F2分别是双曲线x2－y224＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，若|PF2|、|PF1|、|F1F2|是公差为正数的等差数列，则△F1PF2的面积为()A．24B．22C．18D．12[答案]A[解析]由题意可知|PF2||PF1|，所以点P在双曲线的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2，又|PF2|＋|F1F2|＝2|PF1|，即|PF2|＋10＝2|PF1|，联立解得|PF1|＝8，|PF2|＝6，所以△F1PF2是以点P为直角顶点的直角三角形，所以面积为12×8×6＝24.10.(理)(2011·海南嘉积中学模拟、四川广元诊断)若数列{an}满足：an＋1＝1－1an且a1＝2，则a2011等于()A．1B．－12C．2D.12[答案]C[解析]a1＝2，a2＝12，a3＝－1，a4＝2，a5＝12，a6＝－1，…依次类推，数列{an}的周期是3，而2011＝3×670＋1，故a2011＝a1＝2.11．(理)(2011·豫南九校联考)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10＝()A．1033B．1034C．2057D．2058[答案]A[解析]an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，bn＝1×2n－1＝2n－1，ab1＋ab2＋…＋ab10＝a1＋a2＋a4＋…＋a29＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1)＝10＋1×210－12－1＝210＋9＝1033.12．(理)(2010·青岛质检)在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N*，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA→，OB→，OC→满足OC→＝a1OA→＋a2010OB→，三点A、B、C共线且该直线不过O点，则S2010等于()A．1005B．1006C．2010D．2012[答案]A[解析]由条件知数列{an}为等差数列，且A、B、C三点共线，∴a1＋a2010＝1，故有S2010＝2010a1＋a20102＝1005.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2011·江苏镇江市质检)已知1，x1，x2,7成等差数列，1，y1，y2,8成等比数列，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中垂线方程是________．[答案]x＋y－7＝0[解析]由条件得x1＝3，x2＝5，y1＝2，y2＝4，∴MN的中点(4,3)，kMN＝1，∴MN的中垂线方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0.14．(理)(2010·无锡模拟)已知正项数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，若以(an，Sn)为坐标的点在曲线y＝12x(x＋1)上，则数列{an}的通项公式为________．[答案]an＝n[解析]由条件知，Sn＝12an(an＋1)，∴Sn－1＝12an－1(an－1＋1)(n≥2)，两式相减得an＝12(a2n－a2n－1＋an－an－1)，整理得an－an－1＝1，∵a1＝1，∴an＝n.15．(2011·苏北九校联考)已知α∈0，π2∪π2，π，且sinα，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为________．[答案]2π3[解析]由题意，sin22α＝sinα·sin4α，∴sin22α＝2sinα·sin2α·cos2α，即sin2α＝2sinα·cos2α，∴2sinαcosα＝2sinα·cos2α，即cosα＝cos2α，∴2cos2α－1＝cosα.∴(2cosα＋1)(cosα－1)＝0.∴cosα＝－12，∴α＝2π3.16．(理)(2011·浙江宁波八校联考)在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b＋c的值为________.acb612[答案]22[解析]由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q＝2，∴b＝2×2＝4由横行等差知c下边为4＋62＝5，故c＝5×2＝10，由纵列公比为2知a＝1×23＝8，∴a＋b＋c＝22.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(理)(2011·四川广元诊断)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－2n，数列{bn}的前n项和Tn＝3－bn.①求数列{an}和{bn}的通项公式；②设cn＝14an·13bn，求数列{cn}的前n项和Rn的表达式．[解析]①由题意得an＝Sn－Sn－1＝4n－4(n≥2)而n＝1时a1＝S1＝0也符合上式∴an＝4n－4(n∈N＋)又∵bn＝Tn－Tn－1＝bn－1－bn，∴bnbn－1＝12∴{bn}是公比为12的等比数列，而b1＝T1＝3－b1，∴b1＝32，∴bn＝3212n－1＝3·12n(n∈N＋)．②Cn＝14an·13bn＝14(4n－4)×13×312n＝(n－1)12n，∴Rn＝C1＋C2＋C3＋…＋Cn＝122＋2·123＋3·124＋…＋(n－1)·12n∴12Rn＝123＋2·124＋…＋(n－2)12n＋(n－1)12n＋1∴12Rn＝122＋123＋…＋12n－(n－1)·12n＋1，∴Rn＝1－(n＋1)12n.18．(理)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知数列{bn}前n项和为Sn，且b1＝1，bn＋1＝13Sn.(1)求b2，b3，b4的值；(2)求{bn}的通项公式；(3)求b2＋b4＋b6＋…＋b2n的值．[解析](1)b2＝13S1＝13b1＝13，b3＝13S2＝13(b1＋b2)＝49，b4＝13S3＝13(b1＋b2＋b3)＝1627.(2)bn＋1＝13Sn①bn＝13Sn－1②①－②解bn＋1－bn＝13bn，∴bn＋1＝43bn，∵b2＝13，∴bn＝13·43n－2(n≥2)∴bn＝1n＝113·43n－2n≥2.(3)b2，b4，b6…b2n是首项为13，公比432的等比数列，∴b2＋b4＋b6＋…＋b2n＝13[1－432n]1－432＝37[(43)2n－1]．19．(理)(2011·黑龙江林口四中)已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；(2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及数列{an}的通项．[分析]从题设入手，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上可得，an＋1＝a2n＋2an，两边同时加1得an＋1＋1＝(an＋1)2，取对数即可解决问题．由第(2)问的形式知可由(1)问继而求出1＋an的表达式．则Tn可求．[解析](1)由已知an＋1＝a2n＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2.∵a1＝2，∴an＋11，两边取对数得：lg(1＋an＋1