数列复习课

第一章数列一:知识归纳及对策1、数列：是按照一定顺序排列而成的一列数2、等差数列:（1）定义：{an}为等差数列daann1112nnnaaa（2）通项公式：an=a1+(n-1)d，an=am+(n-m)d；前n项和公式：2)aa(nd2)1n(nnaSn11n；要掌握“倒序相加”的推导方法（3）等差数列的性质：①三数成等差，即是的等差中项②当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，特别的当2n=p+q时，2an=ap+aq；③nnnnnsssss232,,仍为等差数列④bknan，即na是n的一次型函数，系数k为等差数列的公差；⑤bnknsn2，即Sn是n的不含常数项的二次函数}{na为等差数列.⑥若{an}，{bn}均为等差数列，则}{nnba,}{ckan（k，c为常数）均等差数列；⑦若}{na是公差为d的等差数列,1°.若n为奇数，则,,:(21nnaaaaSSnaS中中中偶奇中即指中项注且而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n为偶数，则.2ndSS奇偶[基础巩固]1、前100个自然数中，除以7余数为2的所有数的和是（）A、765B、653C、658D、6602、设{}na是等差数列，若273,13aa,则数列{}na前8项的和为()A.128B.80C.64D.563．设nS是等差数列{}na的前n项和，128a,99S,则16S4.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（3n）从左向右的第3个数为3、等比数列：（1）定义：n1naa=q（q为常数，an≠0）；an2=an-1an+1（n≥2，n∈N+）；（2）通项公式：，;111)1(1:111qqqaaqqaqnaSnnnn　项和公式前要掌握“错位相消”的推导方法(3)等比数列的性质：①三数成等比，即是的等比中项;只有同号的两数才存在等比中项②若，则；特别的，当2n=p+q时，an2=apaq③仍为等比数列④若{an}，{bn}均为等比数列，则数列}{nnba,}/{nnba，{kan}仍为等比数列.[基础巩固]1、设等比数列{}na的公比2q，前n项和为nS，则42Sa______2、等比数列{an}中，已知对任意自然数n，a1＋a2＋a3＋…＋an=2n－1，则a12＋a22＋a32＋…+an2等于()(A)2)12(n(B))12(31n(C)14n(D))14(31n3、等比数列前n项和为Sn有人算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是()A、S1B、S2C、S3D、S44.在等比数列{}na中，若78910158aaaa，8998aa，则789101111aaaa。4、等差、等比数列的综合应用（1）方程的思想：常设首项、公差（公比），借助于解方程组思想求解；（2）灵活运用等差、等比数列的定义及性质，简化计算；（3）若}{na为等差数列，则}{naa为等比数列（a0且a≠1）；若}{na为正数等比数列，则}{lognaa为等差数列（a0且a≠1）。5、求最值:等差数列中常用方法1、应用二次函数图象求解最值练等差数列na中，1490,aSS，则n的取值为多少时？nS最大2、.转化为求二次函数求最值练、在等差数列{na}中,4a＝－14,公差d＝3,求数列{na}的前n项和nS的最小值3、利用关系式00nnaa，来求nS最大值练已知等差数列{na}中1a=13且3S=11S,那么n取何值时,nS取最大值.6、巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或qa，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,mamamamamamamaa或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aqaqqaqaaqaqaqa或[基础巩固]1、三个正数a、b、c成等比数列，则lga、lgb、lgc是（）A、等比数列B、既是等差又是等比数列C、等差数列D、既不是等差又不是等比数列2、数列{an}是公差不为0的等差数列，且a7,a10,a15是一等比数列{bn}的连续三项，若该等比数列的首项b1=3则bn等于A、3·(5/3)n-1B、3·(3/5)n-1C、3·(5/8)n-1D、3·(2/3)n-13.等差数列{an}的公差不为零，首项5121,1aaaa和是的等比中项，则数列{an}的前10项之和是（）A．90B．100C．145D．1904．已知函数()2xfx,等差数列{}xa的公差为2.若246810()4faaaaa,则212310log[()()()()]fafafafa.☆专题一数列的通项公式1、观察法例如：；2、公式法（已知所求数列为等差或等比数列）3、nS法：①已知数列前n项之和nS，则2111nSSnannn　　　　　　　　　　能合则合②已知数列前项之和和na的混合式，则用“退一相减法”或na改写为1nnSS.例如：已知数列}{na，,11ka当2n时，有23nnaS，求k的值及na4、待定系数法：一般地，等差数列}{na，设an=kn+b,Sn=kn2+bn;等比数列}{na，设1,0,,1qAqAAqSAqannnn5、递推数列（辅助数列法）：已知简单递推关系求通项公式①叠加法（累加法）：对于形如)(1nfaann的一次递推式，只要)()3()2()1(nffff能进行求和，则宜采用此法.（“相加抵消法”）例如：数列}{na中，)1(1,111nnaaann，求数列}{na的通项公式。②叠乘法：对于形如)(1nfaann即)(/1nfaann型的递推式，只要)()3()2()1(nffff可求时，则宜采用此法.（“相乘约分法”）例如：数列}{na中，nnnaana111,1，求数列}{na的通项公式.☆专题二数列的前项n和1、公式法2、分组求和法：若是等差数列，是等比数列，则求数列}{nnba的前项之和nS用分组求和法。例如：已知数列15231nnna，求其前n项和nS。3、错位相减法：若是等差数列，是等比数列，则求积数列}{nnba的前项之和nS用错位相减法。例如：已知数列nnna312，求其前n项和nS。变式：nnna3)12(4.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：常用裂项形式有常用的裂项111)1(1nnnn，)211(21)2(1nnnn；])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn练:{数列an}通项公式是11nnan，若前n项的和为10，求项数＿5.倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来练:设221)(xxf，利用课本推导等差数列的前n项和公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(5)+f(6)的值。强化训练:1.等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1与d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下各数中也为定值的是（）A．S7B．S8C．S13D．S152.已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则212baa=3.已知数列}{na，“对任意的),(,nnanPNn点都在直线23xy上”是“}{na为等差数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知等差数列na满足011321aaaa，则有（）A．0111aaB．0102aaC．093aaD．66a5.在等差数列{an}中，a100，a110，且a11|a10|，则{an}的前n项和Sn中最大的负数为()A．S17B．S18C．S19D．S206、数列na中，11,111nnaaa，则4a7、设4321,,,aaaa成等比数列，其公比为2，则432122aaaa的值为（）A．41B．21C．81D．18、在数列na中，2,841aa且0212nnnaaa，nN.①求数列na的通项公式。②设nnnSaaaS求.||||||219、已知数列na的前n项和为nS，且满足)2(021nSSannn，211a，①求证：数列nS1是等差数列；②求数列na的通项公式。10．已知数列{}na的首项123a，121nnnaaa，1,2,3,n…．（Ⅰ）证明：数列1{1}na是等比数列；（Ⅱ）数列{}nna的前n项和nS．11．已知数列na的前n项和为nS，且na是nS与2的等差中项，数列nb满足12b，点1(,)()nnPbbnN在直线2yx上，（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设nnnbac，求数列nc的前n项和nT.12.设数列na满足10a且1111.11nnaa（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）设111,,1.nnnnknkabbSn记S证明：