数字信号处理(高西全_丁美玉第三版)课后答案 (2)

118.解：11()()2ncxnXzzdzj1111233()()2522(0.5)(2)nnnzzFzXzzzzzzz（1）当收敛域0.52z时，0n，c内有极点0.5，()Re[(),0.5]0.52nnxnsFz,0,nc内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,()Re[(),2]2nxnsFz,最后得到()2()2(1)2nnnxnunun（2（当收敛域2z时，0,nc内有极点0.5,2,()Re[(),0.5]Re[(),2]xnsFzsFz30.5(2)22(0.5)(2)0.52nnnnzzzzz0,nc内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,因此()0xn,最后得到()(0.52)()nnxnun1解：（2）1,,1,0,1)()()(1010NknWnkXNnNnknN（4）1,,1,0,)sin()sin(11)()1(10NkmNmkNe210,,0,11111212121)(2)(2)(2)(210)(210)(2NkmNkmkmNkmkNeeeeeekmNjNkmNjkmNjNkmNjNnnkmNjNnnkmNj或且（6）knNjmnNjNnmnNjNnknNeeeWmnNkX2210210)(212cos)(（8）解法1直接计算)(21)()sin()(0008nReejnRnwnxNnjwnjwN1021080021)()(NnknNjnjwnjwNnknNeeejWnxkX)2()2(102200000011112121kNwjNjwkNwjNjwNnnNwjnNwjeeeejeej）（）（解法2由DFT的共轭对称性求解因为)()sin()cos()()(0070nRnwjnwnRenxNNnjw)(Im)()sin()(708nxnRnwnxN所以)()(Im)(7078kXnxjDFTnjxDFT即)()(21)()(77708kNXkXjkjXkX)11(1121)11(1121)2()2()(2()2(00000000kNwjNjwkNwjNjwkNNwjNjwkNwjNjweeeejeeeej结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。（10）解法11,,1,0)(10NknWkXNnknN3上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为)()(nnRnxN所以)()()())1(()(nRnNnRnxnxNNN等式两边进行DFT得到)()()(kNNWkXkXkN故1,2,1,1]1)([)(NkWkNkXkN当0k时，可直接计算得出X（0）2)1()0(10100NNnWnXNnNnN这样，X（k）可写成如下形式：1,2,1,10,2)1()(NkWNkNNkXkN解法20k时，2)1()(10NNnkXNn0k时，NNWNWkXWkXNWN1011)1(432)1(32)1(1)1()()()1()2(320)()1(320)(所以，0,1)(kWNkXkN1,2,1,10,2)1()(NkWNkNNkXkN3解：1()xn、2()xn和12()()()ynxnxn分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。5.1解：311()(1)(2)()(1)483ynynynxnxn4将上式进行Z变换121311()()()()()483YzYzzYzzXzXzz112113()31148zHzzz（1）按照系统函数()Hz，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。（2）将()Hz的分母进行因式分解112113()31148zHzzz11111311(1)(1)24zzz按照上式可以有两种级联型结构：(a)1111113()11(1)(1)24zHzzz画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示(b)1111113()11(1)(1)24zHzzz画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示（3）将()Hz进行部分分式展开111113()11(1)(1)24zHzzz1()31111()()2424zHzABzzzzz11103()11123()()224zAzzzz51173()11143()()424zBzzzz107()331124Hzzzz111071073333()1111112424zzHzzzzz根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。解：由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。12()()()HzHzHz（1）11141()10.5zHzz，1221211.414()10.90.81zzHzzz画出级联型结构如题3解图（a）所示●。（2）121111.414()10.5zzHzz,121241()10.90.81zHzzz画出级联型结构如题3解图（b）所示。5.写出图中流图的系统函数及差分方程。图d解：(d)111222222sin()1coscossincosrzHzrzrzrzrz1122sin12cosrzrzrz2()2cos(1)(2)sin(1)ynrynrynrxn1解：（1）求阶数N。6lglgspspkN0.10.30.12.51011010.0562101101psaspak332121022610sspp将spk和sp值代入N的计算公式得lg0.05624.15lg2N所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）（2）求归一化系统函数()aHp，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()aHp为54321()3.23615.23615.23613.23611aHpppppp或221()(0.6181)(1.6181)(1)aHpppppp当然，也可以按（6.12）式计算出极点:121()22,0,1,2,3,4kjNkpek按（6.11）式写出()aHp表达式401()()akkHppp代入kp值并进行分母展开得到与查表相同的结果。（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数()aHp得到实际滤波器系统函数()aHs。由于本题中3padB，即32610/cprads，因此7()()aacHsHpsp5542332453.23615.23615.23613.2361ccccccsssss对分母因式形式，则有()()aacHsHpsp52222(0.6180)(1.6180)()ccccccsssss如上结果中，c的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。2.解：（1）确定滤波器技术指标：0.2padB，32610/ppfrads350,22410/sssadBfrads1,4spsp（2）求阶数N和：1()()sArchkNArch0.110.11011456.65101spaak(1456.65)3.8659(4)ArchNArch为了满足指标要求，取N=4。0.11010.2171pa（2）求归一化系统函数()aHp8411111()2()1.7386()aNNkkkkHppppp其中，极点kp由(6.2.38)式求出如下：(21)(21)()sin()()cos(),1,2,3,422kkkpchjchkNN1111()()0.558040.2171ArshArshN1(0.5580)sin()(0.5580)cos()0.44381.071588pchjchj233(0.5580)sin()(0.5580)cos()1.07150.443888pchjchj355(0.5580)sin()(0.5580)cos()1.07150.443888pchjchj477(0.5580)sin()(0.5580)cos()0.44381.071588pchjchj（3）将()aHp去归一化，求得实际滤波器系统函数()aHs()()aacHsHpsp4444111.7368()1.7368()pppkkkkspss其中3610,1,2,3,4kpkksppk，因为4132,pppp，所以4132,ssss。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。16222211227.268710()(2Re[])(2Re[])aHsssssssss162482487.268710(1.6731104.779110)(4.0394104.779010)ssss4.解：该题所给()aHs正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的()aHs的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期9为T。（1）22()()asaHssab()aHs的极点为：1sajb，2sajb将()aHs部分分式展开（用待定系数法）：122212()()aAAsaHssabssss12211212212222()()()()()AssAssAAsAsAssabsab比较分子各项系数可知：A、B应满足方程：1212211AAAsAsa解之得1211,22AA所以21()1()110.50.5()111kksTajbTajbTkAHzezezez1122()()()aHssajbsajb21()1()110.50.5()111kksTajbTajbTkAHzezezez按照题目要求，上面的()Hz表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将()Hz的两项通分并化简整理，可得11221cos()()12cos()aTaTaTzebTHzebTzez用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数