数字信号处理习题集(附答案)1

1．如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s，每次复加需20s，今用来计算N=1024点的DFT)]({nx。问直接运算需（）时间，用FFT运算需要（）时间。解：（1）直接运算：需复数乘法2N次，复数加法）（1NN次。直接运算所用计算时间1T为ssNNNT80864.12512580864020110021）（（2）基2FFT运算：需复数乘法NN2log2次，复数加法NN2log次。用FFT计算1024点DTF所需计算时间2T为ssNNNNT7168.071680020log100log22222．N点FFT的运算量大约是（）。解：NN2log2次复乘和NN2log次复加5．基2FFT快速计算的原理是什么？它所需的复乘、复加次数各是多少？解：原理：利用knNW的特性，将N点序列分解为较短的序列，计算短序列的DFT，最后再组合起来。复乘次数：NN2log2，复加次数：NN2log计算题：2．设某FIR数字滤波器的冲激响应，,3)6()1(,1)7()0(hhhh6)4()3(,5)5()2(hhhh，其他n值时0)(nh。试求)(jeH的幅频响应和相频响应的表示式，并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。解：70,1,3,5,6,6,5,3,1)(nnh10)()(NnnjjenheH2121272323272525272727277654326533566531jjjjjjjjjjjjjjjjjjjeeeeeeeeeeeeeeeeeee)(27)(27cos225cos623cos102cos12jjeHe所以)(jeH的幅频响应为2727cos225cos623cos102cos12)(jeH)(jeH的相频响应为27)(13．用双线性变换法设计一个3阶Butterworth数字带通滤波器，抽样频率Hzfs720，上下边带截止频率分别为Hzf601，Hzf3002。附：低阶次巴特沃斯滤波器的系统函数H(s):阶次系统函数1pc/(s+pc)2pc2/(s2+1.414pcs+pc3)3pc3/(s3+2pcs2+2pc2s+pc3)4pc4/(s4+2.613pcs3+3.414pc2s2+2.613pc3s+pc4)解：该数字带通滤波器的上下边带截止频率：6720602211sff657203002222sff数字低通原型滤波器的截止频率p可以自选，为了使下面参数k的表示比较简单，这里选3p。则相应的模拟低通滤波器的截止频率sspscffT326tan22tan2于是可以得到3阶模拟低通滤波器的系统函数32233322233338383433822)(ssssccccafsfsfsfssssH而数字低通原型滤波器的系统函数11111121121)()(zzfzzTsasssHzH312111213131)1(331)1)(1(32)1()1(32)1()1(331zzzzzzz下面将数字低通变换位数字带通。3cos/2cos)2cos(/)2cos(1221a31.336tan.3tan2tan)2tan(12cckp于是得到变换公式：21212121112111112222212121ZZZZZkkZkkkkZkkZz最后可以得到所要求的数字带通滤波器的系统函数2121221)()(ZZzdzHZH322222223232)33(331)33)(1(32)33()1(32)1()33(331ZZZZZZZ简答题：1．采用FFT算法，可用快速卷积完成线性卷积。现预计算线性卷积)()(nhnx，试写采用快速卷积的计算步骤（注意说明点数）。答：如果)(nx，)(nh的长度分别为1N,2N,那么用长度121NNN的圆周卷积可计算线性卷积。用FFT运算来求)()(nhnx值（快速卷积）的步骤如下：（1）对序列)(nx，)(nh补零至长为N，使121NNN，并且MN2(M为整数)，即1,...1,01,...1,0)()(111NNNnNnnxnx1,...,1,01,...,1,0)()(222NNNnNnnhnh（2）用FFT计算)(nx，)(nh的离散傅立叶变换)()(kXnxFFT（N点）)()(kHnhFFT（N点）（3）计算)()()(kHkXkY（4）用IFFT计算)(kY的离散傅立叶变换得：)]([)()(kYIFFTnhnx（N点）13．序列3,2,1)(为na，序列1,2,3)(为nb。（1）求线性卷积nbna（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT至少应取多少点？解：（1）nmnbmanbnanw)()()()()(所以3,8,14,8,3)()()(nbnanw，40n（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为)(na的长度为31N；所以nbna得长度为5121NNN。故FFT至少应取823点。22．已知某信号序列2,1,2,3)(kf，2,4,3,2)(kh，试计算（1）)(kf和)(kh的循环卷积和)()(khkf；（2）)(kf和)(kh的线性卷积和)()(khkf；（3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。【答案】（1）)3(21)2(20)1(13)(6)(khkhkhkhky（2）)6(4)5(10)4(14)3(21)2(20)1(13)(6)(khkhkhkhkhkhkhky（3）略23．如图表示一个5点序列)(nx。（1）试画出)()(nxnx（2）试画出)()(5nxnx01234123nx解：01234123nnxnx5678142104136901234513101110)()(5nxnx简答题：24．试述用DFT计算离散线性卷积的方法。解：计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的DFT，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。