数字滤波器的应用

目录1数字滤波器的简介和研究意义..............................................................11.1数字滤波器的简介........................................错误!未定义书签。1.2研究意义.........................................................................................12IIR数字滤波器的设计...........................................................................22.1IIR数字滤波器设计过程..............................................................22.2IIR数字滤波器设计方法..............................................................22.2.1脉冲响应不变法...................................................................22.2.2双线性变换法.......................................................................42.2.3两种方法优缺点的比较.......................................................53FIR数字滤波器的设计..........................................................................53.1线性相位FIR数字滤波器的特性................................................63.2设计方法.........................................................................................74IIR和FIR数字滤波器的基本结构研究..............................................94.1IIR数字滤波器的基本结构...........................................................94.2FIR数字滤波器的基本结构.........................................................125IIR和FIR数字滤波器的比较...........................................................146设计滤波器........................................................................................146.1脉冲响应不变法...........................................................................146.2线性变换法...................................................................................167参考文献................................................................................................17摘要数字滤波器有很多优点，例如它可以满足滤波器对幅度和相位特性的严格要求，可以避免模拟滤波器无法克服的电压漂移、温度漂移和噪声等问题。数字滤波器是一种离散系统，分为有限数字滤波器和无限数字滤波器，本文总结了数字滤波器设计的意义以及IIR数字滤波器和FIR数字滤波器设计的基本过程、设计方法和它们的优缺点，另外还讲述了对这两种滤波器的基本结构研究。1.数字滤波器的简介和研究意义1.1数字滤波器的简介数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。可以设计系统的频率响应，让它满足一定的要求，从而对通过该系统的信号的某些特定的频率成分进行过滤，这就是滤波器的基本原理。如果系统是一个连续系统，则滤波器称为模拟滤波器。如果系统是一个离散系统，则滤波器称为数字滤波器。他的系统函数一般可以表示为的有理多项式，即公式1.1当｛；i=1，2，...,N｝都为0时，由式（1-1）描述的系统称为有限脉冲响应数字滤波器，简称FIR数字滤波器。当系数｛；i=1，2，...,N｝中至少有一个是非零时，式（1-1）描述的系统称为无限脉冲响应数字滤波器，简称IIR数字滤波器。在设计数字滤波器时，首先根据具体的滤波成分，确定待设计数字滤波器的技术指标，在求解出满足设计指标的离散系统的系统函数H(z)。1.2研究意义滤波器的功能是用来移除信号中不需要的部分，比如随机噪声；或取出信号中的有用部分，如位于某段频率范围内的成分。目前随着计算机技术和数字信号处理器芯片的发展，使我们更为便利地识别和提取各种各样的信号。因此研究不同数字滤波器的设计原理和稳定性分析对于满足军事、航空、民营等等各个领域的信号处理要求具有十分重要的意义。NjiiMjjjzazbzH001)(iaia1z2.IIR数字滤波器的设计2.1IIR数字滤波器的设计过程IIR数字滤波器的设计就是根据给定的数字滤波器技术指标，确定公式1.1滤波器的阶数N和系数{ia，ib}。在满足技术指标的条件下，滤波器的阶数应尽可能低。因为滤波器阶数越低，实现数字滤波器的成本就越低。由于模拟滤波器设计技术已非常成熟，且可得闭合形式的解，因此在设计IIR数字滤波器时，一般是通过模拟滤波器来设计数字滤波器。设计方法是先将数字滤波器技术指标转换为对应的模拟滤波器技术指标，然后设计满足技术指标的模拟滤波器H(s)，再将模拟滤波器H(s)转换为对应的数字滤波器H(z)，如图1.1所示。待设计数字滤波器指标模拟滤波器指标模拟滤波器H(s)数字滤波器H(z)频率转换设计模拟滤波器s到z域转换图1.1IIR数字滤波器设计过程因此，在IIR数字滤波器设计中，模拟滤波器设计是基础，模拟滤波器到数字滤波器的转换是核心。而模拟滤波器的设计都是通过低通滤波器来实现，比较常用的模拟低通滤波器有Butterworth和Chebyshev等。2.2IIR数字滤波器的设计方法在IIR数字滤波器的设计中，将H(s)变换为H(z）时，，要求模拟域到数字域映射满足两个条件：（1）两者的频率特性不变，即s平面的虚轴jw必须映射到z平面的单位圆上。（2）变换后的滤波器仍是稳定的，即s左平面必须映射到z平面的单位圆内。这样才能保证变换后的数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的模拟频率响应基本一致。常用的将模拟滤波器变换为数字滤波器的方法有脉冲响应不变法和双线性变换法。2.2.1脉冲响应不变法2.2.1.1基本原理脉冲响应不变法通过对模拟滤波器的单位冲激响应h（t）等间隔抽样来获得对应数字滤波器的单位脉冲响应h[k]，即h[k]=()/tkTht=h(kT)(1)其中T是抽样间隔。若已知模拟滤波器的系统函数H(S),则利用脉冲响应不变法将H(s)变换为步骤如图1.2所示，即先对H(S)进行Laplace逆变换获得h(t),在对h(s)等间隔抽样得到h(k),最后计算h(k)的z变换得到H(z)。模拟滤波器H(s)单位冲激响应h(t)单位脉冲响应h[k]=h(kT)数字滤波器H(z)Laplace逆变换等间隔抽样t=kTz变换图1.2利用脉冲响应不变法将H(S)变为H(Z)2.2.3两种方法优缺点的比较脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位冲激响应能完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域逼近良好，而且模拟角频率和数字角频率之间呈线性关系T。该方法最大的缺点是有频率响应的混叠效应，所以只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且阻带衰减越快，混叠效应越小。2.2.2双线性变换法双线性变换法的基本思想是，将模拟滤波器的H(s)转换为数字滤波器的H(z)时，不是直接从s域到z域，而是先将非带限的H(s)映射为带限的H(s')，再通过脉冲响应不变法将s'域映射到z域，即H(s)—H(s')—H(z)。从频域来看模拟角频率与数字角频率的关系需通过'建立，即—'—。设计步骤如下：(1)由式(2-5)将数字滤波器的频率指标{}转换为模拟滤波器的频率指标{k}。2tan2T(2-5)(2)设计通带截频{p}、通带衰减pA、阻带截频{s}、阻带衰减sA的模拟滤波器(s)H。(3)利用双线性变换法将模拟滤波器的H(s)转换为数字滤波器的H(z)。遵循公式(2-6)。1-1-1-12(s)(z)zzTsHH(2-6)双线性变换法的优、缺点：双线性变换最突出的优点是避免了频率响应的混叠失真，缺点是频率响应的非线性失真，模拟角频率和数字角频率之间的关系如式(2-8)在零频率附近与之间的关系近似于线性，随着的增加，与之间的关系出现严重非线性，使数字滤波器频率响应不能保真地模仿模拟滤波器频率响应。双线性变换法的非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，否则变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有较大畸变。脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位冲激响应能完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域逼近良好，而且模拟角频率和数字角频率之间呈线性关系T。脉冲响应不变法的最大的缺点是有频率响应的混叠效应，所以只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且阻带衰减越快，混叠效应越小。2.2.4双线性变换法的设计原理双线性变换法是将模拟滤波器的H(s)转换为数字滤波器的H(z)时，不是直接从s域到z域，而是先将非带限的H(s)映射为带限的H(s')，再通过脉冲响应不变法将s'域映射到z域，即H(s)—H(s')—H(z)。从频域来看模拟角频率与数字角频率的关系需通过'建立，即—'—。设计步骤如下：(4)由式(2-7)将数字滤波器的频率指标{}转换为模拟滤波器的频率指标{k}。2tan2T(2-7)(5)设计通带截频{p}、通带衰减pA、阻带截频{s}、阻带衰减sA的模拟滤波器(s)H。(6)利用双线性变换法将模拟滤波器的H(s)转换为数字滤波器的H(z)。遵循公式如式(2-8)。1-1-1-12(s)(z)zzTsHH(2-8)双线性变换法的优点：双线性变换最突出的优点是避免了频率响应的混叠失真。双线性变换法的缺点：最大的缺点是频率响应的非线性失真，模拟角频率和数字角频率之间的关系如式(2-7)在零频率附近与之间的关系近似于线性，随着的增加，与之间的关系出现严重非线性，使数字滤波器频率响应不能保真地模仿模拟滤波器频率响应。3.FIR数字滤波器3.1线形FIR数字滤波器的特性FIR滤波器的设计是建立在对期望滤波器频率特性的某种近似基础之上的目前有许多方法可以设计FIR滤波器，比如窗函数设计法、频率取样法等。其中窗函数设计法是滤波器设计的主要方法之一，由于运算简便，物理意义直观，已成为工程实际中应用最广泛的方法，常见的窗函数有：矩形窗、三角形窗、布莱克曼窗、切比雪夫窗等。窗函数法的基本思想是用一具有有限长度样值响应、并具有线性相位的系统函数逼近理想滤波器的系统函数。3.2设计方法(1)根据过渡带宽及阻带衰