数字计算方法天津大学作业答案

数值计算方法复习题一、（1）简述求解非线性方程的常用的方法有哪些？（2）用二分法求解方程02sinxex在[0，1]之间的一个根，要求误差不超过521。答案：（1）求解非线性方程的常用的方法有二分法、迭代法、牛顿法、弦截法（2）令sin2xxfxe，则010f，10.63210f，且cos022xxfxefx在0,1之间有且仅有一个根*x，其计算过程为：n函数值符号有根区间误差限10.50.1006f00.5，1220.250.3961f0.250.5，21230.3750.1317f0.3750.5，31240.43750.0113f0.43750.5，412取40.43750.50.468752x为*x的近似值，且*4512xx二、举例说明误差的来源主要有哪些？在数值计算中值得注意的问题主要有什么？答案：误差的主要来源有：（1）模型误差；（2）观测误差；（3）截断误差；（4）舍入误差。在数值计算中值得注意的问题主要有：（1）防止相近的两数相减；（2）防止大数“吃掉”小数；（3）防止除法中除数的数量级远小于被除数。三、（1）简述LU分解法求解线性方程组的步骤；（2）已知613322121121542774322试用LU分解法求解方程组713542774322321xxx。答案：（1）LU分解法求解线性方程组的步骤：对于方程组AXb，首先对系数矩阵A进行LU分解：ALU；则，接下来分别求解两个三角方程组即可：LYb和UXY（2）首先对系数矩阵A进行LU分解122321311216ALU由LYb，可解得3,5,6TY再由UXY，得2,2,1TX四、①叙述收敛阶的定义，并说明一般情形下牛顿法的收敛阶是多少？②用牛顿法求解020103xx在区间[1，2]内的一个根，要求迭代4次。答案：①设序列{xk}收敛于x*。若存在常数p(p≥1)和c(c≥0)，使cxxxxpkk**lim1则称序列{xk}是p阶收敛的。一般情形下牛顿法的收敛阶是2。②牛顿迭代公式为：1032010231kkkkkxxxxx，取x0=1，则迭代序列为：kxk01LYbUXYAXbLUXb11.69230821.59712131.59456441.594562所以取x4=1.594562为近似根。五、①叙述插值的定义；②已知函数表如下：x…0.10.20.30.4…ex…1.10521.22141.34991.4918…试用抛物线插值求e0.285的近似值。答案：①设函数)(xfy在区间],[ba上有定义，nxxx,,,10是],[ba上1n个互异点，且)(xf在其上的函数值分别为nyyy,,,10。若存在函数)(x使),,1,0()(niyxii，则称)(x为)(xf的插值函数。②抛物线插值函数为：2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL，取x0=0.2，x1=0.3，x2=0.4，得3298.1)285.0(2285.0Le六、用变步长梯形法计算积分xxxdsin10的近似值（二分两次即可）。答案：令xxxfsin)(，则9207355.0)]1()0([211ffT9397933.0)21(2012112fTT9445135.0)]43()41([412124ffTT∴9445135.0dsin10xxx七、已知函数表如下：x…100121144169…x…10111213…试构造差商表，用三次牛顿基本插值多项式计算117的值。答案：构造差商表：xfx一阶差商二阶差商三阶差商10010121110.047619144120.043478-0.000094169130.040000-0.0000720.000000313100.0476191000.000094100121Nxxxx0.00000031100121144xxx把117x代入上式，可得11710.817八、①叙述向量范数的一般定义。②任意给出一种具体的向量范数定义，并求(0,1,3,4)Tx=-的范数。答案：（1）x是一个n维向量，若存在xR满足①0x且0x当且仅当0x②R，有xx③xyxy则称x为x的范数（2）11nxxx01348九、①推导牛顿法求解非线性方程的公式，并指明其几何意义；②叙述收敛阶的定义；③一般情形下牛顿法的收敛阶是多少？答案：（1）fx在Rx处泰勒展开：0kkkfxfxfxxx1kkkkfxxxfx（2）*1*limkPkkxxCxx0C常数则称迭代法的收敛阶为P（3）2十、已知函数)(xf在6,5,3,2,0x处的函数值分别为6,5,2,3,1。试求四次牛顿插值多项式，并计算)5.2(f。答案：4231223310Nxxxxxxx42.52.52.4792fN十一、用龙贝格算法计算积分xxdcos1402的近似值（要求二分四次）。答案：解：k2kT12kS22kC32kR05.217814.77524.627624.92144.97014.992934.95284.96334.96294.962444.96204.96494.96514.96514201cos4.9651xdx十二、叙述用幂法求方阵的主特征值和主特征向量的算法。答案：、00Vy非零向量1kkVAymaxkkkVyV12k，则11limmaxkkxyx1limmaxkkV名词解释1.相对误差2.向量的范数3.插值函数4.代数精度答案：1.若x是准确值，*x是x的一个近似值，则**rxxex称为*x的相对误差2.x是一个n维向量，若存在xR满足：①0x且0x当且仅当0x；②R，有xx；③xyxy则称x为x的范数3.设函数yfx在区间,ab上有定义，01,,,nxxx是,ab上1n个互异点，且fx在其上的函数值分别为01,,,nyyy。若存在函数x使0,1,,iixyin，则称x为fx的插值函数。4.若数值积分公式对任意小于或等于m次的代数多项式都准确成立，而对于1mx却不能准确成立，则称该数值积分公式的代数精度为m