数学13《算法案例---秦九韶算法》教案(新人教A版必修3)

-1-〔教案〕1.3算法案例――－秦九韶算法教学目标：（1）在学习中国古代数学中的算法案例的同时，进一步体会算法的特点。（2）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。教学重点和难点（1）重点：理解秦九韶算法的思想。（2）难点：用循环结构表示算法的步骤。教学基本流程（1）设计算法，求具体多项式的值（2）改进算法，提高运算效率（3）介绍秦九韶算法，求一般多项式的值（4）用循环结构表示秦九韶算法的关键步骤（5）对秦九韶算法和算法本身的特点进行小结教学情景设计一、新课引入在数学的发展史上，从公元前2、3世纪公元14世纪，中国的数学虽有过高潮，也有过低落，但一直走在世界的前列，是世界数学的中心。中国古代数学对世界数学发展有着不可磨灭的贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。二、问题设计问题问题设计意师生互动-2-图（1）设计求多项式763452)(2345xxxxxxf当x=5时的值的算法，并写出程序。使学生在自己操作的过程中进一步认识问题本身及其算法。S提出一般的解决方案，如：x=57*62*33*44*5_5*2xxxxxfPRINT“f＝”；fENDT点评：上述算法一共做了15次乘法运算，5次加法运算。优点是简单、易懂，缺点是不通用，不能解决任意多项式求值问题，而且计算效率不高。(2)有没有更高效的算法？帮助学生建立改进算法、提高计算效率得意识。T：计算x的幂时，可以用前面的计算结果，以减少计算量，即现计算2x，然后依次计算xxxxxxxxx222）），（（），（的值。这样计算上述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法？S：9次乘法运算，5次加法运算。T：第二种做法和第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率。而且对于计算机来说，做一次乘法运算所需的时间比做一次加法运算需要的时间要长得多，因此第二种算法能更快的得到结果。（3）能否探求更好的算法，来解决任意多项式的求解问题？进一步探索具有一般意义的算法。T引导学生把多项式变形为：7)6)3)4)52((((763452)(2345xxxxxxxxxxxf并提问：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常-3-数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？S：7,6,3,4,52DxCxBxAxx共五个一次式，x的系数依次是：6)3)4)52(((,3)4)52((,4)52(,522xxxxxxxxxx，（4）若将x的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的？引导学生发现规律，归纳总结。原多项式x的系数2－5－43－67运算10251055402670＋变形后x的“系数”252110853426775最后得系数2677即为所求的值。让学生描述上述计算过。S：将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以x的值，再，加上变形前的第3个系数，又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项式的值。T：这种算法即是“秦九韶算法”，同时介绍秦九韶的-4-生平。（5）用秦九韶算法求多项式的值，与多项式组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？引导学生分析秦九韶算法的特点。教是引导学生发现在求值过程中，计算只与多项式的系数有关，让学生统计所进行得乘法和加法运算次数。S：共做了5次乘法运算，5次加法运算。（6）秦九韶算法适用于一般的多项式0111)(axaxaxaxfnnnn的求值问题吗？说明秦九韶算法的通用性。T：怎样用秦九韶算法求一般的多项式0111)(axaxaxaxfnnnn的值？S:先将多项式变形为01210111))))(axaxaxaxaaxaxaxaxfnnnnnnn（（然后由内向外逐层计算一次多项式的值。T引导S思考：把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求：0132321211axvvaxvvaxvvaxavnnnnnn的值的过程，共做了多少次乘法运算，多少次加法运-5-算？S:n次乘法运算，n次加法运算。（7）怎样用程序框图表示秦九韶算法？引导学生认识秦九韶算法中的循环过程，并用算法的循环结构来表示这个过程。T:观察秦九韶算法的数学模型，计算kv时要用到1kv的值，若令nav0，我们可以得到下面的递推公式：),2,1(10nkaxvvavknkkn这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。S:画出程序框图。（8）小结：通过对秦九韶算法的学习，你对算法本身有哪些进一步认识？进一步体会算法的特点。T引导S思考、讨论、概括。小结时要关注以下几点：（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效的表达各种算法；等。（9）课后作业：习题1.3A组第2题-6-