数学一轮复习课时作业幂函数与函数的图象

课时作业(十)[第10讲幂函数与函数的图象][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n＞0时是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．其中正确的是________．2．在幂函数y＝x4，y＝x14，y＝x－3，y＝x－12，y＝x－2中，是奇函数的有____________；是偶函数的是____________；没有奇偶性的是________．3．为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点向________平移3个单位长度，再向________平移________个单位长度．4．已知函数f(x)是定义在(－3,3)上的偶函数，当0≤x3时，f(x)的图象如图K10－1所示，那么不等式x·f(x)0的解集是________．图K10－1能力提升5．幂函数的图象过点2，14，则它的单调递增区间是________．6．[2012·泰州调研]函数f(x)＝4x＋12x的图象关于________对称．7．(1)函数y＝(x2－2x)－12的定义域是________；(2)函数y＝(1－x2)12的值域是________．8．把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是________．9．幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________．10．函数y＝2x－x2的图象大致是________．①②③④图K10－211．已知定义在[0，＋∞)上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图K10－3所示，则不等式f(x)·g(x)0的解集是________．图K10－312．[2012·南京一模]若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝2x2＋4x＋1，x0，2ex，x≥0，则f(x)的“友好点对”有________个．13．(8分)已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．14．(8分)作出下列函数的图象．(1)y＝|x2－2x－1|；(2)y＝x2－2|x|－1.15．(12分)已知函数y＝415－2x－x2.(1)求函数的定义域、值域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求函数的单调区间．16．(12分)曲线C的方程是y＝x3－x，将C沿x轴、y轴正方向分别平移t、s(t≠0)个单位长度后得到曲线C1.(1)写出曲线C1的方程；(2)证明：曲线C与C1关于点At2，s2对称；(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明：s＝t34－t.课时作业(十)【基础热身】1．②⑤[解析]幂函数y＝xn，当n0时，不过(0,0)点，①错误；当n＝0时，y＝xn中x≠0，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；y＝x2在(－∞，0)上是减函数，(0，＋∞)上是增函数，④错．2．y＝x－3y＝x4，y＝x－2y＝x14，y＝x－123．左下1[解析]函数y＝lgx＋310可化为y＝lg(x＋3)－1.4．(－3，－1)∪(0,1)[解析]偶函数的图象关于y轴对称，画图可知当x0时，f(x)0的解集为(－3，－1)；当x0时，f(x)0的解集是(0,1)．所以原不等式的解集为(－3，－1)∪(0,1)．【能力提升】5．(－∞，0)[解析]设幂函数的解析式为y＝xn，代入点2，14，得n＝－2，故单调递增区间是(－∞，0)．6．y轴[解析]f(－x)＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．7．(1)(－∞，0)∪(2，＋∞)(2)[0,1][解析](1)函数可化为根式形式，即可得定义域．(2)这是复合函数求值域问题，先求定义域为x∈[－1,1]，求内层函数1－x2的值域为[0,1]，再求外层函数的值域y∈[0,1]，即为所求函数的值域．8．y＝(x－1)2＋3[解析]把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2的图象，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3的图象．9．1或2[解析]因为函数是幂函数，所以m2－3m＋3＝1，∴m2－3m＋2＝0，∴m＝1或m＝2.当m＝1或m＝2时，函数的图象都不经过原点，所以m＝1或m＝2.10．①[解析]因为当x＝2或4时，2x－x2＝0，所以排除②、③；当x＝－2时，2x－x2＝14－40，故排除④，所以选①.11.x0x12或1x2或x2[解析]由题图可知，当0x12时，f(x)0，g(x)0；当12x1时，f(x)0，g(x)0；当1x2时，f(x)0，g(x)0；当x2时，f(x)0，g(x)0.因此f(x)·g(x)0的解集是x0x12或1x2或x2.12．2[解析]由题意，在函数f(x)＝2ex上任取一点A(a，b)，则该点关于原点对称的点B(－a，－b)在函数f(x)＝2x2＋4x＋1上，故b＝2ea，－b＝2a2－4a＋1，所以有2ea＝－2a2＋4a－1(a≥0)．令g(x)＝2ex(x≥0)，h(x)＝－2x2＋4x－1(x≥0)，由图象可知：f(x)的“友好点对”有2个．13．[解答](1)若函数f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0⇒m＝1.(2)若函数f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0⇒m＝－1.(3)若函数f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2，m2＋2m≠0⇒m＝－1±132.(4)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，m2＋m－1≠0⇒m＝－1±2.14．[解答](1)当x2－2x－1≥0时，y＝x2－2x－1；当x2－2x－10时，y＝－x2＋2x＋1.作图步骤：①作出函数y＝x2－2x－1的图象；②将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折(上方部分不变)，即得y＝|x2－2x－1|的图象(如图①)．(2)当x≥0时，y＝x2－2x－1；当x0时，y＝x2＋2x－1.作图步骤：①作出y＝x2－2x－1的图象；②y轴右边部分不变，再将右边部分以y轴为对称轴向左翻折，即得y＝x2－2|x|－1的图象(如图②)．15．[解答]这是复合函数问题，利用换元法．令t＝15－2x－x2，则y＝4t.(1)由15－2x－x2≥0，得－5≤x≤3，故函数的定义域为[－5,3]，∴t＝16－(x＋1)2∈[0,16]，∴函数的值域为[0,2]．(2)∵函数的定义域为[－5,3]，不关于原点对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)∵函数的定义域为[－5,3]，对称轴为x＝－1，∴x∈[－5，－1]时，t随x的增大而增大；x∈(－1,3]时，t随x的增大而减小．又∵函数y＝4t在t∈[0,16]时，y随t的增大而增大，∴函数y＝415－2x－x2的单调增区间为[－5，－1]，单调减区间为(－1,3]．16．[解答](1)曲线C1的方程为y＝(x－t)3－(x－t)＋s.(2)证明：在曲线C上任意取一点B1(x1，y1)，设B2(x2，y2)是B1关于点A的对称点，则有x1＋x22＝t2，y1＋y22＝s2，所以x1＝t－x2，y1＝s－y2.代入曲线C的方程，得x2，y2的方程：s－y2＝(t－x2)3－(t－x2)．即y2＝(x2－t)3－(x2－t)＋s，可知点B2(x2，y2)在曲线C1上．反过来，同样证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．因此，曲线C与C1关于点A对称．(3)证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以方程组y＝x3－x，y＝x－t3－x－t＋s有且仅有一组解，消去y，整理得3tx2－3t2x＋(t3－t－s)＝0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根，∴Δ＝9t4－12t(t3－t－s)＝0，即得t(t3－4t－4s)＝0，∵t≠0，∴s＝t34－t.命题得证．