数学与应用数学专业常微分方程试题

数学与应用数学专业常微分方程试题电大天水分校麦积教学点王景昕2004年9月一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．方程0d)1(1)d(22yxyxyx所有常数解是．2．方程04yy的基本解组是．3．方程1ddyxy满足解的存在唯一性定理条件的区域是．4．函数组)(,),(),(21xxxn在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．5．若)(),(21xyxy是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程yxydd的奇解是（）．（A）xy（B）1y（C）1y（D）0y7.方程21ddyxy过点)1,2(共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三8．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）n（B）n-1（C）n+1（D）n+29．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解10．如果),(yxf，yyxf),(都在xoy平面上连续，那么方程),(ddyxfxy的任一解的存在区间（）．（A）必为),(（B）必为),0(（C）必为)0,(（D）将因解而定三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：11.xyxyxytandd12.1ddxyxy13.2(e)dd0xxyxxy14．1)ln(yxy15．022xyyy四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程xyye21的通解．17．求下列方程组的通解yxtyyxtx43dd2dd．五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．在方程)()(ddyyfxy中，已知)(yf，)(x在),(上连续，且0)1(．求证：对任意0x和10y，满足初值条件00)(yxy的解)(xy的存在区间必为),(．19．在方程0)()(yxqyxpy中，已知)(xp，)(xq在),(上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切．试题答案及评分标准一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．1,1xy2．xx2cos,2sin3．}0),{(2yRyxD，（或不含x轴的上半平面）4．充分5．没有二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D7．B8．A9．C10．D三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解：令uxy，则xuxuxydddd，代入原方程，得uuxuxutandd，uxuxtandd（2分）当0tanu时，分离变量，再积分，得Cxxuulndtand（4分）Cxulnlnsinln（5分）即通积分为：Cxxysin（6分）12．解：对应齐次方程dyydxx的通解为Cxy（2分）令非齐次方程的特解为xxCy)(（3分）代入原方程，确定出/1()cxx（4分）再求初等积分得CxxCln)(（5分）因此原方程的通解为Cxy+xxln（6分）13．解：积分因子为21()2()2ln21()xxeyxdxdxxxyxxxeeex（3分）取001,0xy，则原方程的通积分为1012dd)(eCyxxyyxx（5分）即1e,eCCCxyx（6分）14．解：令py，则原方程的参数形式为pyppxln1（2分）由基本关系式yxydd，有2111dd()d(1)dyyxpppppp（4分）积分得Cppyln（5分）得原方程参数形式通解为Cppyppxlnln1（6分）15．解：原方程是恰当导数方程，可化为0)(2xyy（2分）于是积分得12ddCxxyy（4分）分离变量得21()ydycxdx（5分）积分得通积分为23123121CxxCy（6分）四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应的齐次方程的特征方程为：012（1分）特征根为：1,121（2分）故齐次方程的通解为：xxCCyee21（4分）因为1是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为xAxxye)(1（6分）代入原方程，有xxxxAxAxAe21eee2，（7分）可解出41A．（8分）故原方程的通解为xxxxCCye41ee21（10分）17．解：方程组的特征方程为04321EA即0232（1分）特征根为11，22（2分）11对应的解为tbayxe1111（3分）其中11,ba是11对应的特征向量的分量，满足0014321111ba（4分）可解得1,111ba．（5分）同样可算出22对应的特征向量分量为3,212ba．（8分）所以，原方程组的通解为ttttCCyx2221e32eee（10分）五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．证明：由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．（2分）显然1y是方程的两个常数解．（4分）任取初值),(00yx，其中),(0x,10y．记过该点的解为)(xyy，由上面分析可知，一方面)(xyy可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过1y，下方不能穿过1y，否则与惟一性矛盾,故该解的存在区间必为),(．（10分）19．证明：由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(．（2分）显然，该方程有零解0)(xy．（5分）假设该方程的任一非零解)(1xy在x轴上某点0x处与x轴相切，即有)()(0101xyxy=0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(xy可知),(,0)(1xxy，这是因为零解也满足初值条件)()(0101xyxy=0，于是由解的惟一性，有xxyxy,0)()(1,()．这与)(1xy是非零解矛盾．（10分）