数学专题3函数的概念

1高中数学高考数学总复习专题三函数的概念一.知识网络二.高考考点1.映射中的象与原象的概念;2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.2三.知识要点(一)函数的定义1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.3、认知:①注意到现代定义中“A、B是非空数集”,因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在.②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.(二).映射的概念将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.1、定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f：A→B2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有f：a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.3、认知:映射定义的精髓在于“任一(元素)对应唯一(元素)”,即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可“一对多”,允许“多对一”.因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为“满射”和“非满射”两类.集合A到集合B的映射f：A→B是一个整体,具有方向性；f：A→B与f：B→A一般情况下是不同的映射.（三）、函数的表示法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数.3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.认知:函数符号的意义在函数的概念中,我们用符号“y=f(x)”表示“y是x的函数”这句话.其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则“f”表示解析式蕴含的对自变量x施加的“一套运算的法则”,即一套运算的框架.具体地,对于函数f(x)=5-2x+3(x1)①3对应法则“f”表示这样一套运算的框架:5()－2（）＋3，（）＞１．即f:5()-2()+3,()1.据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5-2a+3(a1);f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5-2x+3(x1);f(g(x)):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有f(g(x))=5(x)-2g(x)+3(g(x)1)②感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味①、②,不难从中悟出这样的代换规律:f(x)的解析式f[g(x)]的表达式我们将上述替换形象地称之为“同位替换”.显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于“等量替换”，又高于“等量替换”，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是“等量替换”所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例.四.经典例题例1.如右图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=ｔ,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中()4分析1:立足于f(t)在t∈[0,1]上的函数式.直线OA的方程为y=2x,故当0≤t≤1时,ｓ＝，,由此否定A,B,D,应选C.分析2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态.当l在Ｏ,D之间运动时,S随着t的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即ΔS1,ΔS2…,ΔSn是递增的(ΔSi是单位时间内面积的增量),故排除A和B,对于C和D,由t∈[0,1]时f(t)=的凹凸性可排除D,故应选C.例2.如图所示,梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(6,0),B(4,2),C(2,2),一条与y轴平行的直线ｌ从点O开始作平行移动,到点A为止.设直线ｌ与x轴的交点为M,OM=x,并记梯形被直线ｌ截得的在左侧的图形面积为y,求函数y=f(x)的解析式,定义域及值域.分析:如图,由于点M位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定ｌ左侧图形形状的关键点,故以x=2,4分划讨论的区间.解:(1)当0≤x≤2时,上述图形是一等腰RtΔ,此时,ｙ＝,即;(2)当2x≤4时,上述图形是一直角梯形.注意到它可分割为一个等腰RtΔ(确定的)和一个矩形,此时,即y=2x-2;(3)当4x≤6时,上述图形是一个五边形,它可看成原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线ｌ右侧),此时,即因此,综合(1)、(2)、(3)得所求y=f(x)的解析式为由此可知,f(x)的定义域为[0,2]∪∪=[0,6].又当0≤x≤2时,,即此时0≤y≤2;当2x≤4时,22x-2≤6,即此时2y≤6;5当4x≤6时,6≤8,即此时6y≤8.∴函数f(x)的值域为[0,2]∪∪=[0,8]点评:分段函数问题的基本解题策略:分段研究,综合结论.不过,在研究由实际问题产生的函数及其两域时,必须具体问题具体分析,必须考虑所给问题的实际情况.例3.(1)已知f(x)=x2+2x-1(x2),求f(2x+1)的解析式;(2)已知,求f(x＋1)的解析式.解:(1)∵f(x)=x2+2x-1(x2)∴以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1(2x+12)∴f(2x+1)=4x2+8x+2(x)(2)由已知得∴以x替代上式中的得f(x)=x2-1(x≥1)∴f(x+1)=(x＋1)2-1(x+1≥1)即f(x+1)=x2+2x(x≥0)点评:上述求解也可运用换元法,但是,不论是“换元法”,还是上面实施的“同位替换”,它们都包括两个方面的替换:(1)解析式中的替换;(2)取值范围中的替换.根据函数三要素的要求,这两个方面的替换缺一不可.例4.设y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],f(x-1)=x2,试求不等式f(1-x)x的解集.分析:为将不等式f(x+1)x具体化,根据“同位替换”法则,先求f(1-x)的表达式.解:由题设知,在y=f(2x+1)中有-1≤x≤1-1≤2x+1≤3,∴运用“同位替换”的思想在f(x-1)中应有-1≤x-1≤3①又由题设知f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1②∴由①、②得f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1(-1≤x-1≤3)∴f(1-x)=(1-x)2+2(1-x)+1(-1≤1-x≤3)即f(1-x)=x2-4x+4(-2≤x≤2)于是有f(1-x)xx2-4x+4x(-2≤x≤2)x2-5x+40(-2≤x≤2)6(x-1)(x-4)0(-2≤x≤2)1x4(-2≤x≤2)1x≤2因此,所求不等式f(1-x)x的解集为.点评:在这里,三个不同函数f(2x+1),f(x-1),f(x+1)均以x为自变量,x是“一仆三主”.因此,在探求函数解析式或定义域时,一定要注意“两方替换”,双管齐下.本例便是多次实施同位替换的良好范例.例5.(1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B①若映射f满足f(a)f(b)≥f(c),则映射f的个数为;②若映射f满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则映射f的个数为;③若映射f满足f(a)-f(b)=f(c),则映射f的个数为.(2)设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从A到B的映射f满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),则映射f的个数为.分析:注意到f(a)的意义:在映射f：A→B之下A中元素a的象,故有f(a),f(b),f(c)∈B.为便于梳理思路,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法.解:(1)由已知得f(a),f(b),f(c)∈B①列表法：∵f(a)f(b)≥f(c)∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:f(a)f(b)f(c)10010-11-1-10-1-1由此可知符合条件的映射是4个.②列表法:注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值(从小到大)为主线列表考察f(a)f(b)f(c)00001-10-1110-11-10-110-101由此可知符合条件的映射有7个.③分类讨论：f(a)-f(b)=f(c)f(a)=f(b)+f(c)即a的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线(从小到大)展开讨论.7（i）当象集合为单元素集合时,只有象集{0}满足已知条件,此时符合条件的映射f只有1个.（ii）当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0}或{1,0}{-1,0}:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;{1,0}:1=0+1,1=1+0此时符合条件的映射有4个.（iii）当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0,1}{-1,0,1}:0=1+(-1),0=(-1)+1∴此时符合条件的映射f有2个于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为7.(2)分类讨论:以象集合中元素的个数(从小到大)为主线展开讨论.(i)当象集合为单元素集时,象集为{6}或{7}或{8},故此时满足条件的映射f有3个;(ii)当象集合为双元素集时,先将A中元素分为两组,有种分法,又每两组的象有3种情形,故此时符合条件的映射f有×3=12个;(iii)当象集合为三元素集时,先将A中元素分为3组,有种分法，又每三组的象只有1种情形,故此时符合条件的映射f有×1=6个。于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为3+12+6=21.点评:在认知f(λ)(λ∈A)的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用方法(通性通法),请同学们在今后的解题中注意应用.例6.已知函数f(t)对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.(1)求f(1)的值;(2)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.分析:这是未给出具体的函数解析式,只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性,循着“一般”与“特殊”之间的辩证关系,想到从“特殊”(特殊取值或特殊关系)入手去破解“一般”,以寻出目标.解:(1)为了出现f(1),在上述恒等式中令x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1)①又令x=0,y=0得f(0)=-1②令x=-1,y=-1得f(-2)=2f(-1)+2∵f(-2)=-2,∴f(-1)=-2③∴将②、③代入①得f(1)=1.(2)为利用f(