数学中考第一轮单元讲义(含中考真题)第15章整式的乘际与因式分解

第十五章整式的乘际与因式分解本章小结小结1本章概述本章主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解．这些内容建立在已经学过的有理数运算，列简单代数式、－元－次方程与不等式，整式的加减的基础上，是以后学习根式和分式的运算等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的数学工具，它在整个数学知识体系中起着承前启后的作用．在初中数学中占有重要地位，是中考必考内容．小结2本章学习重难点【本章重点】幂的运算法则，整式乘除法则，乘法公式以及因式分解的概念及方法．【本章难点】灵活运用公式进行乘法运算以及进行因式分解，添括号时括号中符号的处理．小结3学法指导1．注意前后知识之间的联系，注意类比思想方法在本节学习中的应用．2．重视运算性质和公式的发生和归纳过程．3．适时利用转化思想，注意数学知识之间的内在联系．4．充分发挥主观能动性，提高创新精神和自学意识．知识网络结构图专题总结及应用整式的乘法整式的乘除与因式公解幂的运算法则同底数幂的乘法法则：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)幂的乘方法则：(am)n＝amn(m，n是正整数)积的乘方法则：(ab)n＝anbn(n是正整数)单项式乘以单项式法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加同底数幂的除法法则：am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数且m＞n)零指数幂的意义：a0＝1(a≠0)单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加乘法公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2整式的除法因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式方法公式法平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)完全平方公式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2专题1幂的运算法则及其逆运用【专题解读】同底数幂的乘法、除法、积的乘方、幂的乘方，它们都是整式运算的基础，作用非常大，在整个代数运算中起着奠基作用，幂的运算法则及其逆运用以及零指数幂都是中考必考内容．例1计算2x3·(－3x)２＝．分析本题是积的乘方与单项式乘法的综合运算，紧扣运算法则，即可求出．2x3·(－3x)2＝2x3·9x2＝18x5．故填18x5．例2计算[a4(a4－4a)－(－3a5)2÷(a2)3]÷(－2a2)2．分析本题综合考查幂的四种运算法则，以及单项式乘以多项式、多项式除以单项式的法则．解：[a4(a4－4a)－(－3a5)2÷(a2)3]÷(－2a2)2＝(a8－4a5－9a10÷a6)÷4a4＝(a8－4a5－9a4)÷4a4＝14a4－a－49．专题2整式的混合运算【专题解读】幂的运算与整式的加减乘除混合运算是本章的核心内容，也是整个代数计算的重点．在进行混合运算时要注意：(1)确定运算顺序，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的或去括号；(2)计算要仔细认真，步步有依据，特别是要注意符号．例3计算[(a－2b)(2a－b)－(2a＋b)2＋(a＋b)(a－b)－(3a)2]÷(－2a)．分析本题考查整式的混合运算．解：原式＝(2a2－ab－4ab＋2b2－4a2－4ab－b2＋a2－b2－9a2)÷(－2a)＝(－10a2－9ab)÷(－2a)＝5a＋29b．【解题策略】本题综合考查了多项式乘以多项式、乘法公式、积的乘方、多项式除以单项式以及合并同类项，在计算的过程中，要注意符号问题及运算法则的应用．专题3因式分解【专题解读】因式分解是整式乘法的逆运算，有两种基本方法：提公因式法和公式法．一般步骤是先提公因式，再用公式，最后检查是否分解彻底．例4分解因式．(1)m3－m；(2)(x＋2)(x＋3)＋x2－4．分析(1)是二项式，提取公因式m后，可以用平方差公式继续分解．(2)中把x2－4先分解，然后再与(x＋2)(x＋3)一起提取公因式．解：(1)m3－m＝m(m2－1)＝m(m＋1)(m－1)．(2)(x＋2)(x＋3)＋x2－4＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋2)(x－2)＝(x＋2)[(x＋3)＋(x－2)］＝(x＋2)(2x＋1)．【解题策略】因式分解是十分灵活的题目，选用什么方法要结合题目特点，灵活选用．二、思想方法专题专题4转化思想【专题解读】转化思想是数学中的重要思想．利用这一思想，可以将复杂化为简单，将未知化为已知．整式的乘除法法则中多次用到转化思想．例5分解因式a2－2ab＋b2－c2．分析本题表面上无法直接用提取公因式法或公式法分解．如果添加括号，将代数式进行恒等变形，就可以转化为能用公式法分解的多项式．解：a2－2ab＋b2－c2＝(a2－2ab＋b2)－c2＝(a－b)2－c2＝(a－b＋c)(a－b－c)．专题5整体思想【专题解读】整体思想是数学中常用的数学思想方法，利用此思想方法可以不求出每个字母的值而求出代数式的值，达到简化计算的目的，事半功倍．例6(1)已知x＋y＝7，xy＝12，求(x－y)2；(2)已知a＋b＝8，a－b＝2，求ab的值．分析此题可充分利用公式的变形，并采取整体代入的方法求值．解：(1)∵x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49．∴x2＋y2＝49－2xy＝49－2×12＝25，(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝(x2＋y2)－2xy＝25－2×12＝1．(2)∵a＋b＝8，∴a2＋2ab＋b2＝64．①∵a－b＝2，∴a2－2ab＋b2＝4．②①－②，得4ab＝60，∴ab＝15．【解题策略】(1)中把x2＋y2以及xy当成了整体．(2)中把ab看做是一个整体．用整体代入法的前提是将已知的代数式和所求的代数式进行恒等变形，将其中的某些代数式化成数字，达到化简、求值的目的．2011中考真题精选1.（2011江苏连云港，3，3分）计算（x+2）2的结果为x2+□x+4,则“□”中的数为（）A．－2B．2C．－4D．4考点：完全平方式。分析：由（x+2）2=x2+4x+4与计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，根据多项式相等的知识，即可求得答案．解答：解：∵（x+2）2=x2+4x+4，∴“□”中的数为4．故选D．点评：此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是熟记公式，注意解题要细心．2.（2011•泰州，2，3分）计算2a2•a3的结果是（）A、2a5B、2a6C、4a5D、4a6考点：单项式乘单项式。专题：计算题。分析：本题需根据单项式乘以单项式的法则进行计算，即可求出答案．解答：解：2a2•a3=2a5故选A．点评：本题主要考查了单项式乘以单项式，在解题时要注意单项式的乘法法则的灵活应用是本题的关键．3.（2011内蒙古呼和浩特，2，3）计算2x2•（-3x3）的结果是（）A、-6x5B、6x5C、-2x6D、2x6考点：同底数幂的乘法；单项式乘单项式．分析：根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．解答：解：2x2•（-3x3）=2×（-3）•（x2•x3）=-6x5．故选A．点评：本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．4.（2011山东日照，2，3分）下列等式一定成立的是（）A．a2+a3=a5B．（a+b）2=a2+b2C．（2ab2）3=6a3b6D．（x﹣a）（x﹣b）=x2﹣（a+b）x+ab考点：多项式乘多项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式。专题：综合题。分析：根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则，多项式乘以多项式的法则解答．解答：解：A、不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；C、（2ab2）3=8a3b6，故本选项错误；D、（x﹣a）（x﹣b）=x2﹣（a+b）x+ab，故本选项正确．故选D．点评：本题综合考查合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则，多项式乘以多项式的法则，是基础题型，需要熟练掌握．5.（2011山西，3，2分）下列运算正确的是（）A．32628aaB．3362aaaC．632aaaD．3332aaa考点：正整数指数幂的运算专题：整式的运算分析：A正确．根据是()nnnabab；B不正确，合并同类项，只把它们的系数相加，字母和字母的指数不变，应为3332aaa；C不正确．根据同底数幂相除，底数不变指数相减应为63633aaaa；D不正确．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加应为336aaa．解答：A点评：理解并掌握正整数指数幂的运算法则．正整数幂的这几种运算极易混淆，对比其异同点是解决此类问题的极好方法．6.（2011四川广安，2，3分）下列运算正确的是（）A．(1)1xxB．954C．3223D．222()abab考点：代数式的运算与化简专题：整式分析：选项A考查的是去括号法则，(1)1xx，故A错误；选项B考查的是二次根式的减法运算，9535，故B错误；选项C考查的是绝对值的化简，由于320，所以323223，故C正确；选项D考查的是完全平方公式，222()2abaabb，故D错误．解答：C点评：此类问题需要逐一分析判断，用排除法解决．（1）去括号时，若括号前面是负号，把括号去掉后，括号内的各项都要改变符号；（2）二次根式的加减实际上是合并同类二次根式，不是同类二次根式的两个二次根式不能合并；（3）绝对值（a）与2a的化简是中考的常考内容，在解答时要注意a的符号，有20,00,0.aaaaaaa（4）乘法公式在进行代数式的有关运算中经常用到，要记住常用的乘法公式：①（平方差公式）22ababab；②（完全平方公式）2222abaabb．7.（2011•台湾22，4分）计算多项式2x3﹣6x2+3x+5除以（x﹣2）2后，得余式为何（）A、1B、3C、x﹣1D、3x﹣3考点：整式的除法。专题：计算题。分析：此题只需令2x3﹣6x2+3x+5除以（x﹣2）2后，根据能否整除判断所得结果的商式和余式．解答：解：由于（2x3﹣6x2+3x+5）÷（x﹣2）2=（2x+2）…（3x﹣3）；因此得余式为3x﹣3．则2x3﹣6x2+3x+5﹣（3x﹣3）=2（x+1）（x﹣2）2．故选D．点评：本题主要考查了多项式除以单项式的法则，弄清被除式、除式、商、余式四者之间的关系是解题的关键．8.（2011台湾，5，4分）计算x2（3x＋8）除以x3后，得商式和余式分别为何（）A．商式为3，余式为8x2B．商式为3，余式为8C．商式为3x＋8，余式为8x2D．商式为3x＋8，余式为0考点：整式的除法。专题：计算题。分析：此题只需令x2（3x＋8）除以x3，根据能否整除判断所得结果的商式和余式．解答：解：由于x2（3x＋8）除以x3，得结果为3x＋8，即能够整除；因此得为3x＋8，余式为0；故选D．点评：本题主要考查了多项式除以单项式的法则，弄清被除式．除式．商．余式四者之间的关系是解题的关键．9.（2011台湾，7，4分）化简)54(3)84(41xx，可得下列哪一个结果（）A．－16x－10B．－16x－4C．56x－40D．14x－10考点：整式的加减。专题：计算题。分析：先去括号，然后合并同类项即可得出答案．解答：解：原式＝－x＋2－12＋15x＝14x－10．故选D．点评：本题考查整式的加减，属于基