数学分析(三)试卷2

数学分析（三）试卷2及答案一叙述题（每小题10分，共30分）1．叙述二重积分的概念。2．叙述Gauss公式的内容。3．叙述Riemann引理。二计算题（每小题10分，共50分）1．求球面50222zyx与锥面222zyx所截出的曲线的点)5,4,3(处的切线与法平面方程。2．求平面0z，圆柱面xyx222，锥面22yxz所围成的曲顶柱体的体积。3．计算三重积分VdxdydzzyxI)(。其中10,10,10:zyxV。4．利用含参变量积分的方法计算下列积分dxex2。5．计算Mdxdyzdzdxydydzx,333其中M为上半椭球面),0,,(0,1222222cbazczbyax定向取上侧.三证明题（每小题10分，共20分）1．若1n及,0,0yx证明不等式.22nnnyxyx2．证明dxxxy0sin关于y在)0(],[baba上一致收敛，但在),0(上非一致收敛.答案一叙述题（每小题10分，共30分）1．设为2R上的零边界区域，函数),(yxfz在上有界。将用曲线网分成n个小区域n,...,,21（称为的一个分划），记i为i的面积，并记所有的小区域i的最大直径为。在每个i上任取一点),(ii，若趋于零时，和式iniiifI1),(的极限存在且与区域的分法和点),(ii的取法无关，则称)(xf在上可积，并称此极限为),(yxf在有界闭区域上的二重积分，记为iniiifdyxfI10),(lim),(。2．设是3R中由光滑或分片光滑的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域，函数),,(zyxP，),,(zyxQ和),,(zyxR在上具有连续偏导数。则成立等式RdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxP，这里的定向为外侧。3．设函数)(x在],[ba可积且绝对可积，则成立bappxdxxsin)(lim0cos)(limbappxdxx。二计算题（每小题10分，共50分）1．求球面50222zyx与锥面222zyx所截出的曲线的点)5,4,3(处的切线与法平面方程。解设50),,(222zyxzyxF，222),,(zyxzyxG。它们在)5,4,3(处的偏导数和雅可比行列式之值为：,6xF,8yF,10zF,6xG,8yG,10zG和160),(),(zyGF，120),(),(xzGF，0),(),(yxGF。所以曲线在)5,4,3(处的切线方程为：0512041603zyx，即.5,0)4(4)3(3zyx法平面方程为0)5(0)4(3)3(4zyx，即034yx。2．求平面0z，圆柱面xyx222，锥面22yxz所围成的曲顶柱体的体积。解其体积DdxdyyxV22，其中xyxD2:22。设sin,cosryrx。22,cos2:rD。故.932sin)sin1(38cos38222223cos2022222dddrrddxdyyxVD3．解101010210101010210101010.23)1(|]2)21[()21(|]2)[()()(dxxdxyyxdyyxdxdyzzyxdxdzzyxdydxdxdydzzyxV4．解：首先，令dxeIx2，则dxeIx022，在积分dxex02中，再令utx，其中u为任意正数，即得.200222dxeudxeItux再对上式两端乘以dueu2，然后对u从0到积分，得002.4222dtuedueItuu注意到积分次序可换，即得.12440200)1(00222222tdtuduedtdtuedueIuttuu由于,0I故.I5．利用广义球面坐标代入曲面方程就可得曲面的参数方程为.20,20,cos,cossin,cossinczbyax易得,cossin),(),(2bczy,sinsin),(),(2acxz,cossin),(),(2bayx因此).(52)cossinsinsincossin(22234532/020453333cbaabcdabcacbbcaddxdyzdzdxydydzxM三证明题（每小题10分，共20分）1．证明考虑函数2nnyxz在条件)0,0,0(yxaayx下的极值问题，设).()(21),(ayxyxyxFnn解方程组0020211ayxFynyFxnxFnn可得.2ayx从而.222nnnnyxayx如果0yx时，则结论显然成立.2．证明首先证dxxxy0sin在],[ba上一致收敛.由于],,[,0,22)cos(1sin0bayAayyAyxydxA因而一致有界，而x/1是x的单调减少函数且,01limxx由于x/1与y无关，因此这个极限关于y是一致的，于是由Dirichlet判别法知dxxxy0sin在],[bay上一致收敛.再证dxxxy0sin在),0(上非一致收敛.对于正整数n，取ny/1，这时.32sin32/sinsin2/32/32/3nnnnnndxnxndxxnxdxxxy只要取,320则对于任意,0A总存在正整数n满足,0An取ny/1，这时成立.32sin02/3nndxxxy由Chauchy收敛原理知dxxxy0sin在),0(上非一致收敛.