数学分析教案 (华东师大版)第五章 导数和微分

《数学分析》教案-1-第五章导数和微分教学目的：1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。教学时数：16学时§1导数的概念（4学时）教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。教学重点：导数的概念。教学难点：导数的概念。教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。《数学分析》教案-2-一、问题提出：导数的背景.背景：曲线的切线；运动的瞬时速度.二、讲授新课：1.导数的定义:定义的各种形式.的定义.导数的记法.有限增量公式:例1求例2设函数在点可导,求极限2.单侧导数:定义.单侧可导与可导的关系.曲线的尖点.例3考查在点的可导情况.3.导数的几何意义:可导的几何意义,导数的几何意义,单侧导数的几何意义.例4求曲线在点处的切线与法线方程.4.可导与连续的关系:5.导函数:函数在区间上的可导性,导函数,导函数的记法.注意:等具体函数的导函数不能记为应记为6.费马定理及达布定理《数学分析》教案-3-§2求导法则（4学时）教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。教学重点：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法；教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算。教学方法：以问题教学法为主，结合课堂练习。一、复习引新：复习导数的概念等知识，并由此引入新课.二、讲授新课：（一）.基本初等函数求导推导基本初等函数的求导公式.（二）.导数的四则运算法则:推导导数四则运算公式.(只证“”和“”)例1求例2求(例3求例4证明:(用商的求导公式证明).例5证明:例6证明:.《数学分析》教案-4-例7求曲线在点处的切线方程.（三）.反函数的导数:推导公式并指出几何意义.例8证明反三角函数的求导公式.(只证反正弦)（四）.复合函数求导法——链锁公式：例9设为实数，求幂函数的导数.解例10求和例11求例12求§3.参变量函数的导数（2学时）教学目的：熟悉含参量函数的求导法则，并熟练进行此类函数的导数运算。教学要求：会求由参数方程所给出的函数的导数，并注意与其它法则的综合应用。教学重点：含参量方程的求导法则。教学难点：含参量函数导数的计算。教学方法：以问题教学为主，结合练习。一.复习：导数公式及其运算法则.二.讲授新课：1.参变量函数的导数公式：《数学分析》教案-5-设函数可导且证（法一）用定义证明.（法二）由恒有或严格单调.(这些事实的证明将在下一章给出.)因此,有反函数,设反函数为),有用复合函数求导法,并注意利用反函数求导公式.就有例1.设求2.取对数求导法:例2.设求例3.设求例4.设求3..抽象函数求导:例5.求和例6若可导,求.§4高阶导数（2学时）教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。《数学分析》教案-6-教学要求：掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分。能正确理解和运用一阶微分的形式不变性，并与高阶微分清楚地加以区分。教学重点：高阶导数（微分）的计算。教学难点：高阶导数（微分）的计算。教学方法：以问题教学为主，结合练习。一.高阶导数:定义:注意区分符号和以函数为例介绍高阶导数计算方法.高阶导数的记法.二.几个特殊函数的高阶导数:1.多项式:多项式的高阶导数.例1求和.2.正弦和余弦函数:计算、、、的公式.3．和的高阶导数：4．的高阶导数：5．的高阶导数：《数学分析》教案-7-6．分段函数在分段点的高阶导数：以函数求为例.三.高阶导数的运算性质:设函数和均阶可导.则1．2．3．乘积高阶导数的Leibniz公式：约定（介绍证法.）例2求解例3求解《数学分析》教案-8-例4其中二阶可导.求例5验证函数满足微分方程并依此求解两端求导即对此式两端求阶导数,利用Leibniz公式,有可见函数满足所指方程.在上式中令得递推公式注意到和,就有时,时,四.参数方程所确定函数的高阶导数:《数学分析》教案-9-例6求解§5微分（2学时）教学目的：1.准确掌握微分的概念，明确其几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分。2.弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法则，牢记基本的初等函数的微分公式，并熟练进行初等函数的微分运算。3.能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题。教学要求：1.清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释；能从定义出发求某些简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分。2.明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微分求导数。会应用微分的实际意义解决某些计算问题。教学重点：微分的定义、计算、可导与可微的关系教学难点：运用微分的意义解决实际问题一.微分概念:1.微分问题的提出:从求的近似值入手,通过[1]P133例和可导函数的情况,引出微分问题.《数学分析》教案-10-几个数据:,(查表得)2.微分的定义:3.微分的计算和几何意义:Th(可微与可导的关系).例1求和二.微分运算法则:[1]P112法则1—4.只证2.一阶微分形式不变性.利用微分求导数.微商.例2求和例3求和三．微分的应用:1.建立近似公式:原理:即特别当时,有近似公式具体的近似公式如:等.2.作近似计算:原理:例4求和的近似值.《数学分析》教案-11-例5求的近似值.3．估计误差：绝对误差估计：相对误差估计：例6（[1]P138E5）设已测得一根圆轴的直径为，并知在测量中绝对误差不超过.试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差.4.求速度:原理:例7球半径以的速度匀速增大.求时,球体积增大的速度.四．高阶微分：高阶微分的定义：阶微分定义为阶微分的微分，即注意区分符号的意义.《数学分析》教案-12-例7求以例7为例,说明高阶微分不具有形式不变性:在例7中,倘若以求二阶微分,然后代入,就有倘若先把代入,再求二阶微分,得到可见上述两种结果并不相等.这说明二阶微分已经不具有形式不变性.一般地,高阶微分不具有形式不变性.习题课（2学时）一、理论概述：二、范例讲析：（一）.可导条件:例1设在点的某邻域内有证明在点可导.例2设函数在点可导,则在点不可导.《数学分析》教案-13-例3设函数定义在区间内,试证明:在点可导的充要条件是存在内的函数（仅依赖于和.使在点连续且适合条件并有证设存在,定义易验证函数在点连续,且设又在点连续.则有即存在且（二）.求导数或求切线:例4求和参阅[4]P92E11.例5求《数学分析》教案-14-例6求解设其中为的多项式.注意到对任何正整数则有对有例7抛物线方程为求下列切线:⑴过点(该点在抛物线上)()⑵过点.(该点不在抛物线上)(和)（三）曲线的吻接:曲线的吻接及其解析表达.《数学分析》教案-15-例8设确定、和的值，使函数在点可导.)（四）.奇、偶函数和周期函数的导函数：例9可导奇函数的导函数是偶函数.(给出用定义证和用链导公式证两种证法)例10设是偶函数且在点可导,则.证即由存在，简提可导周期函数的导函数为周期函数,且周期不变.（五）.关于可导性的一些结果:1.若是初等函数,则也是初等函数.在初等函数的定义域内,导函数不存在的点是函数的不可导点.例如函数的定义域是,但导函数在点没有定义,因此点是函数的不可导点.2.存在仅在一点可导的函数.例如《数学分析》教案-16-该函数仅在点可导.3.存在处处连续但处处不可导的函数.