数学分析考试复习题一

1数学分析考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、函数)(xf在[a,b]上可积，那么（）A)(xf在[a,b]上有界B)(xf在[a,b]上连续C)(xf在[a,b]上单调D)(xf在[a,b]上只有一个间断点2、函数)(xf在[a,b]上连续，则在[a,b]上有（）A)()(xfdxxfdxdbaB)()(xfdttfdxdxaC)()(xfdttfdxdbxD)()(xfdttfdxdbx3、在[a，+∞]上恒有)()(xgxf，则（）Aadxxf)(收敛adxxg)(也收敛Badxxg)(发散adxxf)(也发散Cadxxf)(和adxxg)(同敛散D无法判断4、级数1nna收敛是（）对p=1,2…，0)(lim21pnnnnaaaA充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件5、若级数111nn收敛，则必有（）A0B0C0D06、)()(1xaxfnn在[a，b]一致收敛，且an(x)可导（n=1,2…），那么（）Af（x）在[a，b]可导，且1'')()(nnxaxfBf（x）在[a，b]可导，但)('xf不一定等于1')(nnxaC1')(nnxa点点收敛，但不一定一致收敛D1')(nnxa不一定点点收敛27、下列命题正确的是（）A)(1xann在[a，b]绝对收敛必一致收敛B)(1xann在[a，b]一致收敛必绝对收敛C)(1xann在[a，b]条件收敛必收敛D若0|)(|limxann，则)(1xann在[a，b]必绝对收敛8、1)11()1(nnnxn的收敛域为（）A(-1,1)B(-1,1]C[-1,1]D[-1,1）9、下列命题正确的是（）A重极限存在，累次极限也存在并相等B累次极限存在，重极限也存在但不一定相等C重极限不存在，累次极限也不存在D重极限存在，累次极限也可能不存在10、函数f(x,y)在（x0,,y0）可偏导，则（）Af(x,y)在（x0,,y0）可微Bf(x,y)在（x0,,y0）连续Cf(x,y)在（x0,,y0）在任何方向的方向导数均存在D以上全不对二、计算题：（每小题6分，共30分）1、)0(21lim1pnnppppn2、计算由曲线2xy和2yx围成的面积3、求极限)1sin11(lim2222)0,0(),(xyyxyxyx4、已知),(yxxfz，求yzxz,5、计算nnnnxn112)1(的收敛半径和收敛域三、讨论判断题（每小题10分，共30分）1、讨论dxxxqpp01|1|的敛散性32、判断122)11(nnn的敛散性3、判断121sin)1(nnnnx的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设f(x)是以T为周期的函数，且在[0，T]上可积，证明TTaadxxfdxxf0)()(2、设级数10nnnx收敛，则当0时，级数1nnnx也收敛参考答案一、1、A2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D4二、1、由于px在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）121limppppnnn11)21(1lim10pdxxnnnnnpppppppn（4分）2、、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：31)(102dxxx（4分）3、解：由于x1sin有界，01sinlim)0,0(),(xyyx（2分）)1sin11(lim2222)0,0(),(xyyxyxyx=)11)(11()11)((lim22222222)0,0(),(yxyxyxyxyx（3分）=111lim22)0,0(),(yxyx=2（1分）4、解：xz=yff121（3分）yz=22yxf（3分）5、解：212)1(lim1nnnnn，r=2（3分）由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、因为被积函数可能在x=0和x=1处无界，所以将其分为dxxxqpp01|1|=dxxxpqp101|1|1+dxxxqpp11|1|（2分）考虑奇点x=0应要求p-11；奇点x=1应要求p+q1；（4分）当x时，由于1211~)1(1qpqppxxx，知2p+q-11时积分收敛（2分）所以反常积分满足p2且2(1-p)q1-p收敛，其余发散（2分）2、解：由于nnnnn1~112112222（6分），又11nn发散（2分）所以原级数发散（2分）3、解：2211sin)1(nnnxn（6分），由weierstrass判别法原级数一致收敛性（4分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：TaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00（1）（4分）aaTaTdttfTtdTtftTxdxxf00)()()()(（2）（4分）5将式（2）代入（1）得证（2分）2、证明：11)1)((00nnnnnnxnx（4分）01n单调下降有界（3分）由Abel定理知原级数收敛（3分）