数学建模2010c题答案

输油管布置的优化模型摘要本文建立了关于布置输油管管线费用最省的优化模型，针对问题，我结合实际情况做出了合理的简化假设，利用lingo软件，最终对问题进行了求解。对于第一问我利用费马点的相关知识，结合图形的相关性质把本题分成三个部分，分别为33lba、3lab和333balab这三种情况时最短管线的铺设方案。设()ab且非共用管线的费用为每千米t万元，共用管线的费用是是非共用管线的k倍即为kt万元(1k2)。用费马点的论述得出三种最短的铺设路线，画出图像1—3列式子得出其费用结果。对于问题二，首先把所给的条件即三个公司的鉴定的赔偿费用赋予权值，按甲级的占40%，乙级的每个占30%得出大概要陪的费用为得出要陪的费用0.40210.30240.302021.4w万元/千米接着把a=5，b=8，c=15，l=20把数据带入判定式中得到38533358133320133适用第一题中的第三种情况得到图5用Lingo计算得坐标E(1.701345,1.852664),车站设在F(1.701345,0)，得到最少的费用为282.1934万元。最后对于问题三，建立在问题二的模型上，赋予各段管线相印的费用送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，得到222222min5.656.011527.48157.2Pyxyyxyy用Lingo计算得6.7354770.137676917.276818xyy得到最后结果为min251.4633P万元关键词Lingo费马点费用权值问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2.设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=20。若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）212420成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。问题的分析本文是一个关于输油管的布置以及建设费用最省的优化问题,建设总费用与输油管的长度和输油管的铺设费用有关，对于问题一，不同三角形中费马点的位置不同。可把三角形形状分为三类，分别求出费马点的具体位置。距离最短即建设总费用最小，费用不同情况。对于问题二，已知两炼油厂的具体位置，由于城区有赔偿费用所以无论从实际还是经济方面把车站放在郊区最为合理，根据数据建立模型，用Lingo计算得出费用。对于问题三，我们可以应用前面模型，分别以不同的铺设费用，代入前面模型可得费用取得最小值。得到最佳设计方案。。模型的假设1.假设所选的区域地势平坦，没有障碍物；2.假设铺设工程顺利进行，不再因其他因素而增加铺设管道的费用；3.假设不考虑市场因素对输油管价格的影响；4.假设铁路和两炼油厂两两之间至少保持安全距离；5.该段铁路线为直线。符号说明及名词定义1.t：为非共用管线的价格；2.K：公用管线的价格是非共用管线K倍；3.a：A到铁路线的距离；4.b：B到铁路线的距离；5.l：AB对与铁路的垂点的相对距离；6.s：所有管线的长度；7.w：每千米要赔偿的费用；8.p：建立管线的总费用：9.x：车站距A的水平距离；10.y：工用管线到车站的距离（在问题一中的第一中情况为a）；11.y1：B的管线离开城区时距铁路线的距离。模型建立与求解问题一设()ab且非共用管线的费用为每千米t万元，共用管线的费用是是非共用管线的k倍即为kt万元(1k2)。出于实际考虑共用管线比非共用管线的要求要高，即价钱较贵所以K最小为1，但如果K达到2以上时费用过高，使用共用管线达到减少费用的目的无法实现所以K2。1.由费马定理可知当三角形的三个内角有一内角大于或等于120°,则此钝角的顶点就是所求的费马点。而费马点到三顶点的距离最短。（费马点见附录）应此当33lba时我们可以得到A点垂直到铁路线的点车站D，如图所示图1图1此时的最短距离设置为minSABAE（AB为单独管道，AE为公用管道）22minSABAEbala费用为22minPtbalaKtP为管线费用lBADbaO（F）当出现在铁路线上的角度可以达到120°时即当3lab时得到如图2所示的图像。当E位于线段A’B与线段OD的交点是距离最短，由于A’是A关于OD的对称点，所以对应成比例，得到关于x的方程abxlx解得bxalxabxalalxab而管道的最小长度为:22minSabl费用为：2222min(()())alblPtababab图2AA’OEDB当333balab时在铁路线OD上找不到点E使得120ADB，为求最短距离，设车站E在(x,0)处，共用管线的长度为y，即共用管道开始的交点为(x,y)。根据费马定理可得出图3所示的图像0,,'0,2,,,,0,,0,,,0,0,120AaAyaBlbDlExFxyOAFB由于使用费马定理得120EFyAFE又有直线所以可得3()xay2tan30abyl解得：1323113322yablxabl最短管道长度为min231332Sylabl图3120ABOA’EDF由此可知费用最少为min1323233Pktabltl问题二估算对城区的赔偿费用赋予权值甲级的占40%，乙级的每个占30%得出大概要陪的费用为0.40210.30240.302021.4w万元/千米图4a=5，b=8，c=15，l=20把数据带入判定式中得到38533358133320133适用第一题中的第三种情况建立坐标系，设点G(c,y1)且by1a得到图5图5因为城区部分要花费拆迁和工程补偿等附加费用，所以出于实际和经济考虑把车站安排在郊区。可将其费用的最小值的方程分为两部分，位于郊区的部分费用P1和位于城区的部分费用P2。由于管道的费用都为7.2万元/千米所以郊区只需要求最短的距离可用第一题的方案三求解，得到22min1217.2137.221.42PPPaycbylc把数据带入得22min1217.25115328.68152PPPyy得y1=7.365583min282.1934P万元此时点E的坐标(x,y)可求出为：1311.852664231.7013451133122yaycyxxayc坐标E(1.701345,1.852664),车站设在F(1.701345,0)，得到最少的费用为282.1934万元。（lingo程序见附件lingo1）问题三根据题目输条件“送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。”出于实际考虑把火车站建在郊区，假设炼油厂B在城区的管道在G(c,y1)处从城区进入郊区，在E(x,y)点与炼油厂A的管道交汇，然后送到车站F(x,0)。如图6图6由条件得到方程222222min5.46.0128.617.2Payxyycxbylcy把a=5，b=8，c=15，l=20带入得到222222min5.656.011527.48157.2Pyxyyxyy用Lingo计算得6.7354770.137676917.276818xyy得到最后结果为min251.4633P万元（lingo程序见附件lingo2）管线的路线图为图7图7模型的评价与改进在模型一中，我们采用的是优化模型，利用Lingo求解可信度较高，实用性好，同时我假设了厂址的可选区域是地势平坦的，对正常的管线铺设施工的基本是没影响的。然而，在实际的生产生活中，环境，地势的变化却不是那么地理想化，因此，在模型一中，还可以对其进行改进，我们可以假设在铺设管线施工时，有些区域的地势是会阻碍施工作业的，进而进一步改进模型。模型的评价与推广优点：本文中所建立的模型在很大程度上是能够解决实际问题的，经过我们对模型的检验，实践应用性很强。缺点：在对问题一进行分析时，我们假设了在可选区域的地势平坦，不受地理条件的影响其实，在实际情况下，所以这里模型可能是有缺陷存在.在问题二中，我们在赋权值时缺少生产生活中的经验赋予权值时有误差。推广：本题不少内容与光学相似，可以用来求解光学的问题。参考文献[1]胡洪亮，赵芳龄.数学建模与竞赛辅导.西安：西北大学出版社，2010.[2]谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件.北京：清华大学出版设，2005.[3]cooger520，980618a，轻思漫想，ZYM47878，zby1006，逆转华丽，千年泪殇，an_hao等.百度百科，，2012，6，28附录：费马定理:(1).平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。特殊三角形中：(2).三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点.(4)当△ABC为等边三角形时,此时内心与费马点重合