数学建模期末考试重点

数学建模：一、选择题（5*3’=15’）：1.Matlab基本知识；2.数组点乘、点除：设：a=[a1,a2,…,an],c=标量则：a.*c=[a1*c,a2*c,…,an*c]（点乘）a./c=[a1/c,a2/c,…,an/c](右除）a.\c=[c/a1,c/a2,…,c/an](左除）3.重积分：（P9）在Matlab中可以使用int()函数求解积分问题，其调用的具体格式为int(fun,x,a,b)其中x为积分变量，a,b分别是积分下限和积分上限.当a,b去取成或inf时，可以计算无穷限非正常积分.对多元函数的重积分，可先经过数学处理将重积分转化为多次积分，每次积分针对积分变量调用int（）函数处理。矩阵的鞍点：（P80）二、填空题（15’）：1.第一章中Matlab基本知识；2.产生5阶随机矩阵：R=rand（m,n）产生6阶单位阵：E=eye（m,n）3.多项式的根：（P58）当f(x)为多项式时可用：r=roots(c)输入多项式系数c（按降幂排列），输出r为f(x)=0的全部根；c=poly(r)输入f(x)=0的全部根r,输出c为多项式系数（按降幂排列）；df=polyder(c)输入多项式系数c（按降幂排列），输出df为多项式的微分系数例求解x3-x+1=0例求解x2-ax+b=0解输入s=‘x^2-a*x+b’;x=solve(s,’x’)可得x=[1/2*a+1/2*(a^2-4*b)^(1/2)]解输入c=[1,0,-1,1];r=roots(c)可得r=-1.32470.6624+0.5623i0.6624-0.5623i[1/2*a-1/2*(a^2-4*b)^(1/2)]例求非线形方程组X=asin(x)+bcos(y)Y=ccos(x)+dsin(y)先建立m文件myfun.mfunctionq=myfun(p,a,b,c,d)x=p(1);y=p(2);q(1)=-x+a*sin(x)+b*cos(y);q(2)=-y+c*cos(x)+d*sin(y);然后输入a=0.6;b=0.3;c=0.6;d=-0.3;x0=[0.5,0.5]’;%初始值[x,fv]=fsolve(@myfun,x0,[],a,b,c,d)或opt=optimset(‘MaxIter’,2);[x,fv,ef,out,jac]=fsolve(@myfun,x0,opt,a,b,c,d)4.差分方程的解：（P157）一阶常系数线性差分方程1()(0)(8.3)nnyayfna10(8.4)nnyay迭代法：3,2,1,0nnnayy10y设已知，将依次代入中，得2310210320,,,yayyayayyayay一般地，)3,2,1,0(0nyaynn容易验证：0yaynn满足差分方程，因此是差分方程的解.这个解法称为迭代法.一般解法：若ny~是（8.3）的一个特解，令nnnyyY~nnAYy*是（8.4）的通解（8.3）的通解为nnnAYyy~nnAay*（A为任意常数）是（8.4）的通解一阶常系数线性非齐次差分方程(),fncconstCayynn1迭代法：0y设给定初值)1()1(210323021201aacyacayyacyacagycayy)1(10nnnaacyay1a当时，aaaann1111，acaacycaayaynnnn1111001a当时，naan11，3,2,1,00ncnyyn一般解法：snkny~形式的特解,从而设（8.5）具有caknnkss)1(~1nyca1a当时，kakc0s*nnyAan1ncyAaa,1a当时，kc1s~nycn*nyAnycnA二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性齐次差分方程012nnnbyayy)0(nnY02ba24,242221baabaannnCCy2211*；042ba，042ba221a042ba其中24,212aba2224,abtgbr)sin(cos)sin(cos21irirninryninrynnnnnnsincossincos2211iabiaiabia222142124212)sincos(21*nCnCrynn二阶常系数线性非齐次差分方程Cbyayynnn12snkny~(2)(1)sssknaknbknc01ba0sback1bacyn1~102aba，且1sack2acnyn2~102aba，且2s2ck221~cnyn(2)11(1)22nycncnn通解：(),1nfncqcq（均为常数）nnnncqbyayy12特解nsnqkny~02baqq0s2nncqyqaqb2020qaqbqa，但1s212nncnqyqa2020qaqbqa，但2s212242nnncnqcynqqa()()kfncncconstknnncnbyayy12特解)(~2210ksnBknnBnBBny100abs，取10,2,1abas且取10,2,2abas且取5.微分方程的解：（P45&P55）欧拉方法、龙格库塔方法三、综合题（70’）：1.M文件的编写：脚本m文件、函数m文件[functiony=f(x)]Eg:1).编写y=n2+2m22).a.;b.functiony=f(n,m)y=n^2+2*m^2a.y=0;fori=1:5forj=1:iy=y+f(i,j);endendb.y=0;fori=3:8y=y+f(2,i);end2.画图:(P10)1).plot(x,y):调用格式：plot(X,Y,S)plot(Y)－－以元素序号为横坐标，绘制折线图（演示）plot(X,Y)－－y和x为同维向量，则以x为横坐标，y为纵坐标绘制实线图plot(X,Y1,S1,X,Y2,S2,……,X,Yn,Sn)－－同时将多条线画在一起2).ezplot:MATLAB提供了一个ezplot函数绘制隐函数图形，下面介绍其用法。(1)对于函数f=f(x)，ezplot函数的调用格式为：ezplot(f)：在默认区间-2πx2π绘制f=f(x)的图形。ezplot(f,[a,b])：在区间axb绘制f=f(x)的图形。(2)对于隐函数f=f(x,y)，ezplot函数的调用格式为：ezplot(f)：在默认区间-2πx2π和-2πy2π绘制f(x,y)=0的图形。ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax])：在区间xminxxmax和yminyymax绘制f(x,y)=0的图形。ezplot(f,[a,b])：在区间axb和ayb绘制f(x,y)=0的图形。(3)对于参数方程x=x(t)和y=y(t)，ezplot函数的调用格式为：ezplot(x,y)：在默认区间0t2π绘制x=x(t)和y=y(t)的图形。ezplot(x,y,[tmin,tmax])：在区间tminttmax绘制x=x(t)和y=y(t)的图形。3).subplot:可以在同一个画面上建立几个坐标系,用subplot命令subplot函数的调用格式为：subplot(m,n,p)把一个画面分割成m*n个图形区域，p代表当前的区域号，再每个区域中分别画一个图。3.数据处理（检验）:(P103)1).方差已知，ztest2).方差未知，ttestt检验应用条件：1、当样本量较小时，理论上要求样本为来自正态总体的随机样本；2、当两小样本均数比较时，要求两总体方差相等（方差齐性：即σ12=σ22）检验的基本步骤：（一）建立假设000:;:AHH其中μ0为样本所在总体均值.（二）在无效假设成立的条件下，计算t值.1,0ndfSxtxnSSx/其中，n为样本含量，为样本标准误.单样本t检验h=ttest(x,x0,alpha)[h,sig,ci]=ttest(x,x0,alpha,tail)输入：x为给定数据，x0为总体均数,α为检验水平，通常为0.05，0.01,默认时为0.05,tail取0,1,-1分别表示备择假设为均值不等于，不大于，不小于x0.（注意此时的零假设）(缺省时为0）.输出：h=0,不拒绝H0;h=1,拒绝H0;sig为与t统计量有关的p值，ci为均值真值的1-alpha置信区间.两样本均数的t检验对两个独立同方差（方差未知）正态总体的样本均值差异进行t检验建立假设；2110:;:2AHH计算均数差异标准误、t值和自由度。)1()1(,212121nndfsxxtxx)11()1()1()1()1(212122221121nnnnsnsnSxxMatlab实现:两样本t检验函数：ttest2；调用格式：h=ttest2(x,y)[h,significance,ci]=ttest2(x,y,alpha)[h,significance,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail)输入：x，y为给定数据,tail取0,1,-1分别表示备择假设为μx≠μy,μx≤μy,μx≥μy.输出：h=0,不拒绝H0;h=1,拒绝H0;sig为P值；ci为置信区间.4.微分方程数值解：【编程、绘图】(P45)1).向前欧拉公式：而nnnnyxyyxy)(,)(11，故上式可写成：),,(1nnnnyxhfyyn=0,1,…(3)(3)式即为向前欧拉公式。2).改进欧拉公式：为简化计算，且能提高精度，将梯形公式中的迭代过程简化为两步：在matlab中编制如下的函数文件gjeuler.m将其实现．function[x,y]=gjeuler(fun,x0,xf,y0,h)n=fix((xf-x0)/h);y(1)=y0;x(1)=x0;x(n)=0;y(n)=0;fori=1:(n-1)x(i+1)=x0+i*h;y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y(i));y(i+1)=(y1+y2)/2;end例应用改进的欧拉方法求'1,(0)1yyxy首先建立函数文件fun.m:functionf=fun(x,y)f=-y+x+1;然后在主程序中输入：[x,y]=gjeuler('fun',0,1,1,0.1)即可．3).龙格—库塔方法：龙格－库塔方法的基本思想就是：在[xn,xn+1]内多取几个点，将它们的导数加权后代替f（x,y(x)），设法构造出精度更高的计算公式。高阶微分方程需要先降阶为一阶微分方程组：)'',,(''yyxfy),,(211'22'1yyxfyyyyy1'12yy解析解desolve(‘eqn1’,’eqn2’,...,’x’)求常微分方程（组）的解析解。例3计算y’=y+2x,y(0)=1,10x.解：1、建立m-文件fun1.m如下：functiondot1=fun1(x,y);dot1=y+2*x;注：1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成，返回的值应为列向量。2、使用Matlab求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.1、建立m-文件vdp1.m如下：fun