数学建模考试

1淮阴工学学院数学建模与实验课程期末考试试题姓名刘红斌班级计科1091学号1094101109成绩要求（1）把所有程序代码放到以自己学号后3位命名的文件夹中，并且发送到[e-mail]（2）所有雷同作业直接记为不合格。（3）作业的格式参考课本51-54页一、解决一个实际问题“加工奶品的问题”（50分）1．问题的提出1桶牛奶可以在甲车间用10个小时生产出4公斤的A1，也可以在乙车间用7个小时生产出5公斤的A2，生产的A1、A2可以全部售出，每公斤A1获利r1（109）元，每公斤A2获利r2（65.4）元，现在每天有50桶牛奶供应，每天工人工作时间为380小时，并且甲车间受设备限制，每天至多可以加工出100公斤的A1,乙车间生产A2不受限制，为此，应该如何制定生产计划，使得该厂获利最大？要求编写LINGO程序运行，然后回答如下问题：(1)怎样制定生产计划，才能使得获利最大，最大获利是多少？(2)30元可以买1桶牛奶，买吗？若买，每天至多买几桶？(3)如果可以招聘临时工，付出的工资是多少？以每个临时工工作7个小时算，每天至多请几个临时工？(4)如果A1的获利增加到r3（130.8）元每公斤，是否改变生产计划？(5)如果A2的获利增加到r4（87.2）元每公斤，是否改变生产计划？注意：r1的数值为本人的学号最后3位r2的数值为本人的学号最后3位乘以0.6r3的数值为本人的学号最后3位乘以1.2r4的数值为本人的学号最后3位乘以0.82．基本假设和符号说明基本假设：1.每桶牛奶的量一样2.所有工人工作能力一样3.生产的牛奶不会有质量问题导致降价符号说明：1x：表示生产1A使用的牛奶桶数22x：表示生产2A使用的牛奶桶数z：表示该厂获得的利润3．建立模型目标函数：1122max45zrxrx约束条件：1212112501073804100,0xxxxxxx4．模型求解程序代码：Max=4*109*x1+5*65.4*x2;x1+x2=50;10*x1+7*x2=380;4*x1=100;运行结果：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:17440.00Totalsolveriterations:0VariableValueReducedCostX110.000000.000000X240.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice117440.001.00000020.00000072.6666730.00000036.33333460.000000.000000灵敏度分析：Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCoefficientRangesCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX1436.000031.14286109.0000X2327.0000109.000021.80000RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecrease3250.000004.2857146.4285713380.000045.0000030.000004100.0000INFINITY60.000005.结果分析（1）由运行结果得，最优解为110x，240x，最优值为17440z，即用10桶牛奶生产1A,40桶牛奶生产2A，可获最大利润17440元。（2）由运行结果得，每天供应的牛奶的桶数增加1桶，总利润就增加72.67元，即1桶牛奶的影子价格为72.67元。用30元可以买到1桶牛奶，低于影子价格，应该买。由灵敏度分析得，每天至多买4桶。（3）由运行结果得，每天的劳动时间增加1小时，总利润增加36.33元，即1小时劳动的影子价格为36.33元，所以如果可以招聘临时工，付出的工资是每小时最多36.33元。由灵敏度分析得，每天的劳动总时间最多可以增加45小时，如果以每个临时工工作7个小时算，每天至多请6个临时工。（4）由灵敏度分析得，目标函数中1x的系数的允许变化范围为(436109,43631.14)(327,467.14)。如果1A的获利增加到r3（130.8）元每公斤，那么1x的系数变为4130.8523.2，不在允许变化范围内，所以需要改变生产方案。（5）由灵敏度分析得，目标函数中2x的系数的允许变化范围为(32721.8,327109)(305.2,436)。如果2A的获利增加到r4（87.2）元每公斤，那么2x的系数变为587.2436，在允许变化范围内，所以不需要改变生产方案，但最大利润变为410910587.24021800元。二、建模求解（50分）(1)公司选址问题：（20分）1．问题的提出4某个公司拟在淮安市淮阴区、清河区、清浦区开分店，经考察，三个区共有7个位置点iA（1,2,,7i）可供选择，且公司决定：淮阴区只能在123,,AAA中至多选两个，清河区则在45,AA中至少选一个，清浦区在67,AA中至少选一个。如果选用iA，设备投资估计为ib万元，每年可获利润估计为ic万元，问在投资总额不超过B万元的条件下，怎样选址可使公司年利润最大？假设投资总额1000B万元，设备投资估计ib与每项投资每年获利ic见下表：i1234567ib（万元）150180300M（109）30010080ic（万元）254660N（54.5）551716其中M的数值为本人的学号最后3位N的数值为本人的学号最后3位*0.52．基本假设和符号说明基本假设：1.不考虑各区人口数目不同导致的任何费用2.各个位置点的交通、环境一致符号说明：当1ai时，表示在iA地投资开分店，当0ai时，表示不在iA地投资开分店；z表示该公司的年利润。3．建立模型目标函数：1234567maxz25a46a60a54.5a55a17a16a约束条件：12345671234567150a180a300a109a300a100a80a1000aaa2aa1aa1a01127ii或，，，，4．模型求解程序代码：max=25*a1+46*a2+60*a3+54.5*a4+55*a5+17*a6+16*a7;150*a1+180*a2+300*a3+109*a4+300*a5+100*a6+80*a7=1000;a1+a2+a3=2;a4+a5=1;a6+a7=1;@bin(a1);@bin(a2);@bin(a3);@bin(a4);5@bin(a5);@bin(a6);@bin(a7);运行结果：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:232.5000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:0VariableValueReducedCostA10.000000-25.00000A21.000000-46.00000A31.000000-60.00000A41.000000-54.50000A51.000000-55.00000A61.000000-17.00000A70.000000-16.00000RowSlackorSurplusDualPrice1232.50001.000000211.000000.00000030.0000000.00000041.0000000.00000050.0000000.0000005．结果分析由运行结果得，当1723456,0,,,,,1aaaaaaa时，总利润最大，即在淮阴区选择23,AA两个位置，在清河区选择45,AA两个位置，在清浦区选择6A位置开分店，此时该公司的年利润最大，为232.5万元。（2）水塔问题：（30分）1．问题的提出有一个几何形状不规则的水塔（如图1所示），它可以看成是曲线ABC绕垂线z旋转而成，水塔高12米,上顶圆的半径为9米，下底圆的半径为3米，测得水面高度h与水平截面圆的半径的r关系如附件1所示。试回答下面问题(1)利用附件1中的数据，拟合出曲线ABC满足的方程。(2)计算该水塔的容积是多少？(3)该水塔装满了水，以后不再向水塔中放水。在底部有一个截6面为0.02平方米的小孔，假设水流速度v与水面高度h有下面的关系为：2vgh单位：立方米/小时试给出水流完需要多长时间？附件1水面高度h与水平截面圆的半径的r单位：米h0123456789101112r33.0053.0013.0153.083.2253.483.8754.445.2056.27.44592．基本假设和符号说明基本假设：1.求解时不存在偶然失误；2.水塔除底部有一个小孔外，其它地方完好；3.水塔放水过程中，不会出现偶然事故；4.t时刻的流速v依赖于此刻容器内水的高度h(t)。5.整个放水过程无能量损失。符号说明：V：水塔的容积h：水塔内水面高度r：水塔内水平截面圆的半径dV:水塔容积的微元dh：水塔水面高度的微元S:小孔口的横截面积Q：水从孔口流出的流量V：通过孔口横截面的水的体积dt:时间的微元3．建立模型问题要求曲线ABC满足的方程，运用MATLAB中线性最小二乘法拟合。问题要求算出不规则水塔的容积，由问题的分析知，可以运用微元法思想，建立微分方程，从而对该问题进行求解。设不规则水塔的容积为V，则水塔容积的微分方程为;2dVrdh由问题的条件，我们应考虑水的体积，更进一步考虑孔口的横截面积S，由水力学知：水从孔口流出的流量Q为通过孔口横截面水的体积V对时间t的变化率，有dVQdt另一方面，在[,]ttt水面高度h(t)降至(0)hhh,容器中水的体积改变为图1水塔形状72()()()VVhVhhrhoh式中：()oh表示关于h的高阶无穷小量令0t时，得2dVrdh4．模型求解在matlab中用线性最小二乘法拟合程序代码：%拟合曲线clch1=[0123456789101112];r1=[33.0053.0013.0153.083.2253.483.8754.445.2056.27.4459];plot(h1,r1,h1,r1,'ko','linewidth',3,'markersize',5)holdonn=3;[p,s]=polyfit(h1,r1,n)f=polyval(p,h1);R=sqrt(sum((r1-f).^2))%n次多项式误差h2=linspace(h1(1),h1(end),10000000);f1=polyval(p,h2);plot(h2,f1,'g','linewidth',3,'markersize',5)set(gca,'FontSize',12)title('r与h的关系曲线')legend('DataCurve','DataPoint','CubicSpline',2)axissquarexlabel('水塔高度h')ylabel('半径r')%水塔容积v=0;h3=h2(2)-h2(1);fori=1:length(f1)-1v=v+pi*f1(i)^2*h3;endv%求解水流出水塔的时间t=0;fori=1:length(f1)-1t=t+pi*f1(i)^2*h3/sqrt(2*9.8*h2(i+1))/0.02;end8t运行结果：p=0.0050-0.02010.02052.9998s=R:[4x4double]df:9normr:0.0085R=0.0085v=808.3721t=3.8932e+00302468101223456789r与h的关系曲线水塔高度h半径rDataCurveDataPointCubicSpline5．结果分析由运行结果得：（1）拟合出曲线ABC满足的方程为320.005