数学必修五第三章不等式单元质量评估(二)

第三章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．若ab0，则()A.1a1bB．0ab1C．abb2D.baab解析：∵ab0，∴两边同乘以b得abb2，故选C.答案：C2．下列不等式中，解集为R的是()A．x2＋4x＋40B．|x|0C．x2－xD．x2－x＋14≥0解析：A项x＝－2时，x2＋4x＋4＝0，B项x＝0时，不成立．C项x＝0时不成立．D项，x2－x＋14＝(x－12)2≥0.答案：D3．设a＝2x2－x＋1，b＝x2＋x，则()A．abB．abC．a≥bD．a≤b解析：a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.答案：C4．满足不等式y2－x2≥0的点(x，y)的集合(用阴影表示)是()解析：取测试点(0,1)可知C，D错；再取测试点(0，－1)可知A错，故选B.答案：B5．若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是()A.|a＋b|2≥|ab|B.ba＋ab≥2C.a2＋b22≥(a＋b2)2D．(a＋b)(1a＋1b)≥4解析：(a＋b2)2＝a2＋b2＋2ab4≤a2＋b2＋a2＋b24＝a2＋b22，当且仅当a＝b时取等号，∴a2＋b22≥(a＋b2)2.答案：C6．在R上定义运算☆，a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)0的实数x的取值范围为()A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)解析：根据定义得：x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－20，解得－2x1，所以实数x的取值范围为(－2,1)，故选B.答案：B7．已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，那么下列不等式中正确的是()A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C.1a＋1b＋1c≥23D．abc(a＋b＋c)≤13解析：∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加可知2(a2＋b2＋c2)≥2(bc＋ab＋ac)，∴a2＋b2＋c2≥1.∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥1＋2.∴(a＋b＋c)2≥3.答案：B8．若不等式(13)x2－2ax33x＋a2恒成立，则a的取值范围为()A．0a1B．a34C．0a34D．a34解析：由题意得－x2＋2ax3x＋a2恒成立，即x2＋(3－2a)x＋a20恒成立．所以Δ＝(3－2a)2－4a20，解得a34，故选B.答案：B9．已知变量x，y满足x≥1，y≥1，x＋y－3≤0，目标函数是z＝2x＋y，则有()A．zmax＝5，zmin＝3B．zmax＝5，z无最小值C．zmin＝3，z无最大值D．z既无最大值，也无最小值解析：可行域为：如图所示：z在A点取得最小值，zmin＝3，z在B点取得最大值，zmax＝5.答案：A10．若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－8]∪[0，＋∞)B．(－∞，－4]C．(－8,4]D．(－∞，－8]解析：分离变量：－(4＋a)＝3x＋43x≥4，得a≤－8.故选D.答案：D11．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式fx－f－xx0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)解析：fx－f－xx＝2fxx0.(1)当x0时，f(x)0，又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，f(1)＝0，∴0x1.(2)当x0时，f(x)0，∵f(x)在(－∞，0)上也为增函数，f(－1)＝0，∴－1x0.答案：D12．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc0，T＝1a＋1b＋1c，则()A．T0B．T0C．T＝0D．T≥0解析：解法1：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－320，排除A，C，D，可知选B.解法2：由a＋b＋c＝0，abc0，知三数中一正两负，不妨设a0，b0，c0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋cb＋aabc＝ab－c2abc.∵ab0，－c20，abc0，故T0，应选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．(2011·安徽高考)函数y＝16－x－x2的定义域是________．解析：要使函数有意义，只需6－x－x20，即x2＋x－60.∵Δ＝1＋24＝250，∴方程x2＋x－6＝0有两个不相等的实数根分别为－3,2.∴不等式x2＋x－60的解为－3x2，∴函数的定义域为{x|－3x2}．答案：{x|－3x2}14．若xyz1，则xyz，xy，yz，zx从大到小依次排列为________．解析：取特殊值法，由xyz1，可取x＝4，y＝3，z＝2，分别代入得xyz＝26，xy＝23，yz＝6，zx＝22.故xyzxyxzyz.答案：xyzxyxzyz15．已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：∵(x＋y)(1x＋ay)＝1＋axy＋yx＋a≥1＋a＋2a＝(a＋1)2，∴(a＋1)2≥9，∴a≥4.答案：416．(2012·江苏高考)已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则ba的取值范围是________．解析：由条件可得3·ac＋bc≥5ac＋bc≤4，bc≥eac令ac＝x，bc＝y，则问题转化为约束条件为3x＋y≥5x＋y≤4y≥ex，求目标函数z＝ba＝yx的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作y＝ex的切线，切线方程为y＝ex，切点P(1，e)在区域内．故当直线y＝zx过点P(1，e)时，zmin＝e；当直线y＝zx过点C(12，72)时，zmax＝7，故ba∈[e,7]．答案：[e,7]三、解答题(共70分)17．(本小题10分)已知a，b是不相等的两个正数，求证：(a＋b)(a3＋b3)(a2＋b2)2.证明：∵(a＋b)(a3＋b3)－(a2＋b2)2＝(a4＋ab3＋ba3＋b4)－(a4＋2a2b2＋b4)＝ab(a－b)2，∵a，b∈R＋且a≠b，∴ab0，(a－b)20，∴ab(a－b)20.∴(a＋b)(a3＋b3)(a2＋b2)2.18．(本小题12分)已知函数f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋c.(1)当c＝19时，解关于a的不等式f(1)0.(2)若关于x的不等式f(x)0的解集是(－1,3)，求实数a，c的值．解：(1)由已知有：f(1)＝－3＋a(6－a)＋190，即a2－6a－160，解得：－2a8.所以不等式的解集为：(－2,8)．(2)由关于x的不等式f(x)0的解集是(－1,3)可知：－1,3是关于x的方程3x2－a(6－a)x－c＝0的两个根，则有Δ0－1＋3＝a6－a3－1×3＝－c3，解得：a＝3±3，c＝9.19．(本小题12分)已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．解：解法1：作出二元一次不等式组1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3所表示的平面区域(如下图所示)．考虑z＝2x－3y，把它变形为y＝23x－13z，得到斜率为23，且随z变化的一组平行直线．－13z是直线在y轴上的截距，当直线在y轴上的截距最大时，z的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z＝2x－3y取得最小值；当直线在y轴上的截距最小时，z的值最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z＝2x－3y取得最大值．由图可知，当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小．解方程组x－y＝－1，x＋y＝5，得A的坐标为(2,3)，所以zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大．解方程组x－y＝3，x＋y＝1，得B的坐标为(2，－1)，所以zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.故2x－3y的取值范围是[－5,7]．解法2：设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，则2x－3y＝(a＋b)x＋(a－b)y，∴a＋b＝2，a－b＝－3，∴a＝－12，b＝52，即2x－3y＝－12(x＋y)＋52(x－y)．又∵1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，∴－52≤－12(x＋y)≤－12，－52≤52(x－y)≤152.∴－5≤2x－3y≤7，即2x－3y的取值范围是[－5,7]．20．(本小题12分)已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求b－3a－1的最大值和最小值．解：∵α＋β＝－a，αβ＝2b，∴a＝－α＋β，b＝αβ2.∵0≤α≤1,1≤β≤2，∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴－3≤a≤－1，0≤b≤1.建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k＝b－3a－1，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率．取B(－1,0)，C(－3,1)，则kAB＝32，kAC＝12.∴12≤b－3a－1≤32.故b－3a－1的最大值是32，最小值是12.21．(本小题12分)某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－180x＋10，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝x5，(注：利润与投资金额单位：万元)(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；(2)试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？解：(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的100－x(万元)资金投入B产品，利润总和f(x)＝18－180x＋10＋100－x5＝38－x5－180x＋10(x∈[0,100])(2)∵f(x)＝40－(x＋105＋180x＋10)，x∈[0,100]，∴由基本不等式得：f(x)≤40－236＝28，取等号当且仅当x＋105＝180x＋10时，即x＝20.答：分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．22．(本小题12分)设不等式组x0，y0，y≤－nx＋3n所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝Sn3·2n－1，若对一切的正整数n，总有Tn≤m，求实数m的取值范围．解：(1)由x0，y0,3n－nx≥y0，得0x3.所以x＝1，或x＝2，即Dn内的整点在直线x＝1和x＝2上．记y＝－nx＋3n为l，l与x＝1，x＝2的交点的纵坐标分别为y1，y2，则y1＝2n，y2＝n，∴an＝3n(n∈N*)．(2)∵Sn＝3(1＋2＋…＋n)＝3nn＋12，∴Tn＝nn＋12n.令Tn＋1Tn＝n＋22n1，解得n2.∴当n≥3时，TnTn＋1，且T1＝1T2＝T3＝32，即Tn的最大值为32.所以实数m的取值范围为[32，＋∞)．