数学新教材使用中的例习题选择及试题命制

数学新教材使用中的例习题选择及试题命制上海市行知中学赵传义谈习题的选择和试题的命制首先要对高中数学教育的目的和作用有一定的认识。教育部2003年3月颁发的《普通高中数学课程标准》指出：数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。高中数学教育包括两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，使学生获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备。上海市的二期课改，启动于1997年、实验于2001年，在“理念先行”的思想指导下，经5年的实验培训，于2006年秋全面推开，其硬件指标是全市各中小学全面使用新教材。新教材充分体现了新课改的要求：倡导积极主动勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，强调本质、注意适度形式化，体现数学的文化价值，注重信息技术与数学课程的整合等等。这些变化都为教师实施新课程、使用新教材，提出了新的课题。我们不能再固守“经验”，想当然地组织教学。2004年10月上海市教委颁发《上海市普通中小学课程方案（试行稿）》时就附带了四个附件：1上海市普通中小学课程设置参考方案，2关于改进各学科学习训练的指导意见（征求意见稿），3关于改进各学科学习评价的指导意见（征求意见稿），4关于加强课程与信息技术整合的指导意见（征求意见稿）。可见学习训练及学习评价对于新课程顺利实施具有重要作用。一关于例题和习题的选择解题训练是数学课堂教学的重要组成部分，无论是概念的理解，还是公式法则的熟练运用，都要借助一定量的习题解答来完成，也就是说基础知识掌握、基本技能形成的载体是练习题。例题是一类特殊的练习题，它承载着体现数学思想、揭示数学方法、规范思考过程的使命。它既为学生数学问题的解决提供了范例，又为数学方法体系的构建提供了结点。我们这里提到的例题和习题与用于组织教学的问题既有区别又有联系。用于组织教学的问题更强调过程性、情境性和即时性，它是那一情境中、那一过程里、那一时刻间师生交流的媒介；它存在于概念、定理、方法学习的发生、发展、深化的各个环节，起着促进学生对概念、定理、方法等感知、体验、联结、抽象、进而深入理解的作用。习题更多地是在一个数学知识学习之后对所学内容的应用，起到巩固和熟练所学内容的作用；具体地可分为：初步运用以达记忆、多角度思考以达全面认识，变换形式后的使用以达熟练等等。归纳起来我们把习题的功效定位为：巩固、熟练和提高能力，巩固对应着知识的掌握、熟练对应着技能的形成。例题起着揭示数学方法、规范思维过程的作用。在新教材的使用过程中，我们既要努力钻研教材，认真体会教材对新课标要求的落实；又要因我们的学生不同、学情不同，对教材进行二度开发。下面针对具体内容谈几个点的看法1、正确处理例题的示范性，恰当区分例、习题。例题的典型性和示范性决定了教师在例题的解答过程中要充分发挥指导作用。这一点在过去体现为：一节课在新知学习之后是教师给出例题，然后分析题意，讲解并板演解题过程，再后教师给出一组与例题类似的练习题，再给出充分的时间让学生解答。其间或许会指定一位获几位学生到黑板解答其中的一道或几道练习，教师再针对学生出现的思路或格式问题予以纠正或规范。在我国这种方式以延续几十年甚至近百年，存在即是合理，它有许许多多优点，不能完全否定或者说不能否定，新课改让一些老师听到传统就是落后，殊不知有些老师根本就不知传统什么，有些传统是基本功。从“例题”一词的本义来讲为“范例”或“例子”，就是要为学生解决问题提供一个可模仿、可借鉴的模式。另外，即使新课程也没有这种方式，在高二第一学期数学教学参考资料169页对无穷等比数列各项和的习题配置说明中就有，“第1题与例1相配套，……，第4题与例3相配套，……”等内容。我这里再提“例题”是想强调上述方式应加进“人”和“内容”的因素。新课改最核心的理念是“以人为本”、内容与人的匹配问题，方式和过程是为当事人更好地理解内容服务的。在小学低年级的算术中根本没有例题一说，小学高年级和初中例题的作用不可忽视，对于高中的部分内容是不是可以变通一下。另外对于同一高中内容，重点中学和普通中学的处理方式也应不同。对于一些方法性和解题过程的规范性都不突出的例题可以降为学生在课上自主解决的练习题。例如，高中新教材7.3等比数列中的例1和例2例1在等比数列中，已知，，求公比及首项。例2求9与25的等差中项和等比中项。这是在学习等比数列的概念、等比数列的通项、等比中项的概念之后的基本练习，是对概念和公式的最基本应用，无需方法的揭示和过程的规范，所以不需教师的分析和板演。因是学生能自主解决范畴之内的问题，所以若教师在此还喋喋不休，就会损害学生学习的积极性，实质上是剥夺了学生课上自主学习的权利，违反了学习最近发展区的原则。学生能够自己解决的问题教师绝不能越俎代庖。教师不去板演和示范这类问题不等于这类问题不重要，相反我们要充分重视这里问题的重要作用。在概念学习之后应该给出一组这类习题，而不是一个，一般为三到四个。因为这类习题起到熟悉概念、多角度认识概念、在运用过程中记住公式的作用。在等比数列的通项公式中涉及了4个量首项、公比、第和序号，知三求一各种类型最好都涉及到，各个角度用通项最好都展示给学生，尽管它们从方法角度没有本质的区别，但从形式却给了学生多种感知。2、正确把握例习题的难度，促进学生主动学习。上文提到了学生学习的最近发展区的概念，内容太简单不能引起学生的学习兴趣，同样经常性的太难也不能引起学生的学习兴趣。新课标倡导积极主动勇于探索的学习方式，应不但体现在知识学习的起始和进行中，还应体现在知识的运用过程中。运用知识时，无论是普通中学还是重点中学都应注意练习题难度的适当，练习量的适度。学生做习题的主动性与习题的难度有直接关系。我们所选习题题一定要适合我们学生当前的学习水平。在选择习题时，一定要分析所选习题对当前所学内容的功效，难题不一定功效好，简单题不一定功效差。所谓功效即前提到的充分发挥习题的巩固知识、深化认识，熟练操作形成技能，适度探索提高能力。某教辅材料在数列的第一节就给出了这样一道练习题：某股份公司2006年12月份产值是这年1月份产值的K倍，则该公司的月平均增长率是。该题放在这里是很不合适的。对达成本课目标毫无益处，徒增烦恼。选择习题时，还应区分哪些适合学生独立完成，哪些需要在老师指导下完成。如已知数列和都是等差数列，它们的前项和分别为和，且，求。这道题涉及到了，但它并不是等差数列的核心知识之一，需要教师提示学生。这类题知道了很简单，不知道很难，我们称其为技巧性很强的题，不宜多练。3、突出例题方法的承载性，揭示方法运用的必要性。理解所学内容的学习必要性是促进学生主动学习的有效手段。例如高中新教材7.6《归纳—猜想—论证》中所给的两个例题例1依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，……的前四项，由此猜想的有限项表达式，并用数学归纳法加以证明。例2已知数列，，，…，，…，设为该数列的前项和，计算，，，的值。根据计算结果猜测关于的表达式，并用数学归纳法加以证明。该课节是一堂典型的数学思想方法课，该课的目标就是理解并能主动运用归纳猜想证明的数学思想。但所给两道例题都不能充分揭示要学方法的必要性，因它们都能用已学过的方法推算出来，例1等差数列求和、例2裂项求和，并且过程都比较简单、方法比较基础，所以学生学习之后并没能感受到“归纳猜想证明”的优越性，觉得老师是在为了用归纳而用归纳，自然从学习的动机到效果都会降低。我在实际中是运用下面的一个例子来教学，提出供出参考。例1已知数列，，，求数列的通项。题干中并没有给出方法的要求，没有束缚学生的思维。由于此题由递推公式求通项公式也比较困难，学生经过几次试误并互相讨论之后，会自然地去猜通项是什么，又因为刚学过数学归纳法，为了说明其正确性，学生也会去证明。该题的归纳环节比较简单，。简单的事不等于不能说明大道理。优越才有必要存在。对于习题，为了强化方法可以明确要求使用该方法解题，但例题应突出方法的必要性和优越性。4、例题的选择要注意典型性和全面性问题承载着方法，方法只有通过问题的解决才能得以体现。对于例题来说所体现的方法应该是典型的，我们不讲题型讲方法，用方法来统领习题，但我们讲典型习题，典型习题代表着典型方法。高中新教材2.3（2）含有绝对值的不等式也是一节方法课，该节共3个例题例1解不等式：例2解不等式：例3解不等式：编者的意图为例1绝对值内是一次的，例2绝对值内是二次的，例3绝对值内是分式，例2、例3分别将绝对值不等式与刚学过的二次不等式和分式不等式结合起来。看起来设计得很有想法，事实上2、3不太适合做本节的例题，倒是比较适合做习题，理由是：它们所用到的关于绝对值的方法与例1相同，都是基本绝对值不等式法（，或），去掉绝对值后，这是在解二次不等式和分式不等式组，这两道题的难点也不在解绝对值不等式，而在于解二次不等式和分式不等式组。所以只适合在学习了如何解绝对值不等式之后做练习之用。另外该节的内容设置并没有完全揭示学生所应该掌握的解绝对值不等式的基本方法，零点分区去绝对值和平方去绝对值这两种方法都没介绍，而这两种方法与所给方法比较是同等基础的和基本的。如与的解法。在方法学习课中例题所承载的方法要全面。较难的综合应用方面的问题也可以作为例题，但它们要被归结到问题解决的范例方面去，属能力提高教学的范畴。5、例题的解法要注意规范性和通用性。例题的解法承载着解题的思考方式和书写格式。例题的典型性在于它揭示着方法，方法本身就包括过程和步骤。高二课本22页例4已知数列的通项公式为，且，求证：数列成等比数列。课本的解答为：因为所以，数列成等比数列。该解答，第一不够严谨，在出现之前要指出；第二思维习惯不够规范，在做比之前已应化简，再进行运算。这样的例子很多，在解数列应用题时，应首先设出数列，构建该问题的数列模型，不应毫无来头地直接计算数字等等。6、适量适当选择例题习题，不能让教学跟着教辅走。练习题应适量和适度，数学需要一定量的课外练习来促进记忆和提高熟练程度，但练习的量和难度都要有所控制。教学需要教辅但要对教辅内容有所选择，再好的一本材料也不可能适合所有的学校。学生的许多畏惧情绪多数来自习题选择的不当。数学归纳法本来是比较容易学习的内容，一些教辅书把学生清晰的思路故意搅乱。某教辅高二上23页1题，应用数学归纳法证明等式时…，下面给4个选项，结果选仅当时成立。数学归纳法只能证明某个命题对于某一正整数之后的所有正整数成立，怎么可能证明仅当时成立呢？在同一本教辅书25页7题，用数学归纳法证明（是非负实数，）时，假设命题成立之后，证明命题也成立的关键是。很难回答。我看过一些初中的练习题，觉得有些练习不可思议，不知大学老师看到我们的一些人造数学练习会做何感想。习题可分为课内练习和课外练习。我认为在我校每天为十五、六道题，其中学生很容易完成的应占80%以上,有一定思维量的也应该有一、二道。7、打好基础兼顾能力，高一高二的教学目标要与高三有所不同高一高二应着重双基，基础知识扎实，基本技能熟练。特别是对课本和与课本配套的练习册上的习题，要求每个学生对每一道题会解。适当的补充练习，一定控制补充练习的数量和难度，着重在数学知识的理解和数学基本方法运用上下功夫。适当在老师的指导下做一些思维量较大的题目，以达能力逐步提高。应避免学生只见题目不见数学，好多学生认为学数学就是做题，反而问其学了哪些内容学了哪些方法，不知道。在高一高二应强化学生对数学整体的认识，对高中数学本质的认识。适当培养数学的各项能力。学习能力、探究能力、应用能力、创新能力不是一蹴而就的，应逐步接触、逐步提高，能力型问题的量不可过大，否则只能挫伤学生学习的积极性，增加对数学的畏惧情绪。高三主要是解题训练，高一高二应做好自己该做的事情，应知应会的内容一定要会，不能到了高三在去不高一高二的基础。现在一个通病为高一高二在努力向高三看齐，高三的平行班又