数学物理方法2012-2013年考试卷答案

1.已知方程22cos(3sin)0xxxyyyyUxUxUU，判断方程类型，并且用和对自变量x，y进行代换（不用化简方程）。（10分）解：根据方程变形得特征方程为：22()2cos(3sin)0dydyxxdxdx22cos3sin40xx所以方程为双曲型解特征方程得：cos2cos2dyxdxdyxdx化简得12sin2sin2yxxcyxxc令12sin2sin2cyxxcyxx则此式即为方程自变量变幻式。2.用简要语言描述一下方程表示的物理过程（不用解方程）。（10分）2000(,)0;0();()ttxxxxxltttUaUfxtUUUxUx解：方程表示弦的受迫振动方程。其中方程非齐次项(,)fxt表示力密度，表示t时刻作用于x处单位质量上的横向外力。00xU为第一类边界条件，表示在x=0处弦振动的纵向位移为0；0xxlU为第二类边界条件，表示在x=l处弦振动的纵向受力为0；0()tUx为初始条件，表示在t=0时刻，弦上对应x各点竖直方向位移为()x；0()ttUx为初始条件，表示在t=0时刻，弦上对应x各点竖直方向速度为()x；3.已知方程如下，求V（x,t）使方程得以边界齐次化，同时方程自身保持齐次（不用解方程）。（10分）200000,sin0,0ttxxxxxltttaUUUAwtUUU解：由于求解的是弦在x=l端受迫作谐振动sinAwt情况下的振动，它一定有一个特解V（x,t），满足齐次方程、非齐次边界条件，且跟x=l处同步振动，特解具有分离变数形式如下：()sinXxwtV（x,t）带入边界条件得方程为：2''()0(0)0,'()wXXaXXlA得常微分方程的解为()cos()sin()wxwxXxCDaa，带入边界条件()sin()cosAwxXxwwlaaa最终得所求函数：sin()sincosAwxwtwwlaaaV（x,t）4已知拉普拉斯方程30u在球坐标系下表达式如下：2222222111()(sin)0sinsinuuurrrrrr对上式进行分离变量，并对分离出的各式求通解。（10分）解：令(,,)()(,)urRrY则代入得2222222()(sin)0sinsinYddRRYRYrrdrdrrr方程两边同乘以2rRY得2222111()(sin)sinsinddRYYrRdrdrYY令2222111()(sin)(1)sinsinddRYYrllRdrdrYY得2222()(1)0(1)11(sin)(1)0(2)sinsinddRrllRdrdrYYllY对（1）分析，方程为欧拉型方程，2222(1)0dRdRrrllRdrdr通解为(1)()llRrCrDr对（2）分析，令(,)()()Y222(sin)(1)0sinsindddllddd方程两边同乘以2sin得222sin1(sin)(1)sindddllddd令222sin1(sin)(1)sindddllddd得2''0(3)sin(sin)(1)sin0(4)ddlldd解方程（3），由条件()(2)得2(0,1,2,3,...)()cossinmmAmBm解方程（4）变形得221(sin)(1)0sinsinddmlldd令cos,arccosxx则222(1)(1)01ddmxlldxdxx即22222(1)2(1)01ddmxxlldxdxxl阶连带勒让德方程通解()()()()(cos)(cos)mmmmxCPxDQxCPDQ5．用分离变量法解方程。（15分）20000,03sintxxxxltaUUUxUlU6.用行波法解方程。（15分）200000,0cos,0ttxxxtttaUxtUAUAUU7.用傅里叶变换法解方程。（15分）20(,)()txxtaUfxtxUxU8.解下列方程。（15分）2222221xyaxyxyaUU