数学第三章《数系的扩充与复数的引入》测试(新人教A版选修2-2)

-1-高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a是复数()zabiabR，为纯虚数的（）Ａ．充分条件但不是必要条件Ｂ．必要条件但不是充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件答案：Ｂ2．若12zi，23()zaiaR，12zz的和所对应的点在实轴上，则a为（）Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1答案：Ｄ3．复数22(2)(2)zaaaai对应的点在虚轴上，则（）Ａ．2a或1aＢ．2a且1aＣ．0aＤ．2a或0a答案：Ｄ4．设1z，2z为复数，则下列四个结论中正确的是（）Ａ．若22120zz，则2212zzＢ．2121212()4zzzzzzＣ．22121200zzzzＤ．11zz是纯虚数或零答案：Ｄ5．设22(253)(22)ztttti，tR，则下列命题中正确的是（）Ａ．z的对应点Z在第一象限Ｂ．z的对应点Z在第四象限Ｃ．z不是纯虚数Ｄ．z是虚数答案：Ｄ-2-6．若1i是实系数方程20xbxc的一个根，则方程的另一个根为（）Ａ．1iＢ．1iＣ．1iＤ．i答案：Ａ7．已知复数1coszi，2sinzi，则12zz·的最大值为（）Ａ．32Ｂ．2Ｃ．62Ｄ．3答案：Ａ8．已知mR，若6()64mmii，则m等于（）Ａ．2Ｂ．2Ｃ．2Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数1322i对应的向量为OA，复数2对应的向量为OB．那么向量AB对应的复数是（）Ａ．1Ｂ．1Ｃ．3iＤ．3i答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（）①两个复数不能比较大小；②123zzzC，，，若221221()()0zzzz，则13zz；③若22(1)(32)xxxi是纯虚数，则实数1x；④z是虚数的一个充要条件是zzR；⑤若ab，是两个相等的实数，则()()ababi是纯虚数；⑥zR的一个充要条件是zz．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3答案：Ｂ11．复数()abiabR，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（）-3-Ａ．2()1abＢ．221abＣ．221abＤ．2()1ab答案：Ｂ12．复数z满足条件：21zzi，那么z对应的点的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线答案：Ａ二、填空题13．若复数cossinzi·所对应的点在第四象限，则为第象限角．答案：一14．复数3zi与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为．答案：60°15．已知2zi，则32452zzz．答案：216．定义运算abadbccc，则符合条件2132izzi的复数z．答案：7455i三、解答题17．已知复数(2)()xyixyR，的模为3，求yx的最大值．解：23xyi∵，22(2)3xy∴，故()xy，在以(20)C，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()xy，与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3．-4-18．已知1ziab，，为实数．（1）若234zz，求；（2）若2211zazbizz，求a，b的值．解：（1）2(1)3(1)41iii，2∴；（2）由条件，得()(2)1abaiii，()(2)1abaii∴，121aba，，∴解得12ab，．19．已知2211zxxi，22()zxai，对于任意xR，均有12zz成立，试求实数a的取值范围．解：12zz∵，42221()xxxa∴，22(12)(1)0axa∴对xR恒成立．当120a，即12a时，不等式成立；当120a时，21201124(12)(1)0aaaa，综上，112a，．20．已知()zizC，22zz是纯虚数，又221116，求．解：设()zabiabR，-5-2(2)2(2)zabizabi∴2222(4)4(2)abbiab．22zz∵为纯虚数，22400abb，．∴222211(1)(1)(1)(1)abiabi∴2222(1)(1)(1)(1)abab222()44abb844b124b．12416b∴．1b∴．把1b代入224ab，解得3a．3zi∴．32i∴．21．复数3(1)()1iabizi且4z，z对应的点在第一象限内，若复数0zz，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．解：2(1)(1)()2()221iizabiiiabiabii···，由4z，得224ab．①∵复数0，z，z对应的点是正三角形的三个顶点，zzz∴，把22zabi代入化简，得1b．②又Z∵点在第一象限内，0a∴，0b．由①②，得31ab，．故所求3a，1b．-6-22．设z是虚数1zz是实数，且12．（1）求z的值及z的实部的取值范围．（2）设11zz，求证：为纯虚数；（3）求2的最小值．（1）解：设0zabiabbR，，，，则1abiabi2222ababiabab．因为是实数，0b，所以221ab，即1z．于是2a，即122a，112a．所以z的实部的取值范围是112，；（2）证明：2222111211(1)1zabiabbibizabiaba．因为112a，，0b，所以为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)baaaaa1222111aaaaa12(1)31aa因为112a，，所以10a，故2122(1)31aa··≥431．当111aa，即0a时，2取得最小值1．