数学试题的难度与效度理应辩证统一(初稿)

数学试题的难度与效度理应辩证统一——关于一道数学试题的思考雷波县渡口初级中学张大军试题的难度，即试题的难易程度，是评价考试的一个非常重要的指标。一个题目，如果大部分考生都能答对，那么这个题目的难度就小；如果大部分考生都不能答对，那么这个题目的难度就大。客观性试题的难度nkP（k为答对该题的人数，n为参加测验的总人数）；主观性试题的难度mxP（x为试题平均得分；m为试题满分）。测试的效度，是考试的有效性或正确性的质量指标，即是否考了要考的内容，试题的难度、区分度是否适宜，考试最终是否达到了它的预定目的等。数学试题的难度与效度是相对的，对于不同地区、不同测试对象而言，难度的大小、效度的高低也会有所区别。所谓“会者不难，难者不会”就是这个道理。同一道数学试题，分别让成都市第七中学的学生和雷波县渡口中学的学生去解答，那可能的结果是：前者正确率高达99%，而后者却低至9%。所以，数学试题的设置必须因地制宜、因人而异，必须根据受测试对象的基本情况来定夺，必须做到试题的难度与效度的有机结合、辩证统一。下面，我们以某地2014—2015学年度上学期期末检测九年级数学试题中的一道填空题为例，来具体分析说明这个道理。在平面直角坐标系中，O为原点，⊙O的半径是7，直线43mmxy交⊙O于A、B两点，则线段AB的最小值为．如果我们把“某地”分别代换成不同的地区，那么这道填空题便可以“随机应变”为难度与效度有机结合、辩证统一的不同版本。【例1】已知：如图，⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，OP⊥AB于点P，且OP=5，则AB的长为.【解析】如图，连接OA，由垂径定理可知AB=2PA，在Rt△POA中，用勾股定理可求出PA=62572222OPOA，从而可得AB=2PA=64。此题主要考察垂径定理及勾股定理的应用，属于简单基础问题，适合用于检测边远地区教育教学基础较差的地方学校学生。对于这样的问题，数学基础一般或以上的学生估计都能答对。【例2】已知：如图，⊙O的半径是7，⊙O内有一点P，且OP=5，则过点P的弦AB的最小值为.【解析】如图，过点P作AB⊥OP，交⊙O于A、B两点，连接OA，在Rt△POA中，用勾股定理可求出PA=62572222OPOA，从而可得AB=2PA=64。此题主要考察垂径定理、勾股定理和最值原理，属于简单综合问题，适合用于检测边远地区教育教学基础一般的地方学校学生。对于这样的问题，数学基础中等偏上的学生估计多数能够答对。【例3】已知：如图，在平面直角坐标系中，O为原点，⊙O的半径是7，⊙O内有一点P的坐标是（3，4）,则过点P的弦AB的最小值为.【解析】如图，过点P作AB⊥OP，AB交⊙O于A、B两点，作PC⊥x轴于点C，连接OA、OP，在Rt△POC中，用勾股定理可求出OP=5432222PCOC，在Rt△POA中，用勾股定理可求出PA=62572222OPOA，从而可得AB=2PA=64。此题主要考察平面直角坐标系、垂径定理、勾股定理和最值原理，属于复杂综合问题，适合用于检测发达地区教育教学基础较好的地方学校学生。对于这样的问题，数学基础较好的学生估计应该能够答对。【例4】已知：如图，在平面直角坐标系中，O为原点，⊙O的半径是7，直线43mmxy交⊙O于A、B两点，则线段AB的最小值为.【解析】由43mmxy可得，当x=3时，y=4，即直线经过点P（3，4），此为本题的难点所在，很多学生根本就想不到这一点。如图，连接OA、OP，作PC⊥x轴于点C，则当OP与直线43mmxy垂直时，AB的值最小。在Rt△POC中，用勾股定理可求出OP=5432222PCOC，在Rt△POA中，用勾股定理可求出PA=62572222OPOA，从而可得AB=2PA=64。此题主要考察一次函数、垂径定理、勾股定理和最值原理，属于较复杂的综合问题，适合用于检测发达地区教育教学基础特别好的地方学校学生。对于这样的问题，数学基础比较好的学生通过努力估计可能会答对。如果将上述4道例题中的“如图”二字和图形去掉，那么又会出现比相应例题难度较高的4个新问题。其中，当数“某地”原题的测试难度为最大。实际上，对于四川省甘、阿、凉三州的多数贫困地区来说，教育教学基础还是普遍较差的，特别是数学这门很“不受担待”的学科。对于这些地区的学生，特别是义务教育阶段的学生来说，数学教育教学目标并不适宜订得太高，当然，数学检测试题的难度也并不适宜设置得太大了。如果难度太大，以致参加测试的绝大部分学生甚至所有学生都无法答对，那么测试的效度也就可想而知了。考试的目的不是要考倒学生、打击学生，而只是要检测学生、敦促学生，仅此而已。所以，我们老师给学生出题，一定要弯下腰来，站在学生的立场上来命题；我们的专家给学生出题，更需要蹲下身来，蹲在学生的立场上来命题。只有这样，才能真正做到与“因材施教”、“区别对待”相呼应的“因地制宜、因人而异”，才能用难度与效度有机结合、辩证统一的试题检测学生的基础知识水平和基本技能素质。