数学选修2-3第一章测试

第一章测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有()A．3B．12C．34D．43解析每位学生都有4种报名方法，因此有4×4×4＝43种．答案D2．从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取两个数字，一共可以组成没有重复数字的五位偶数的个数为()A．2880B．7200C．1440D．60解析先取后排，C24C35A12A44＝2880.答案A3．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变．则不同调整方法的种数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A25解析从后排8人中选2人的方法有C28种．设选出的2人为A、B，安排A到前排有A15种方法，再安排B到前排有A16种方法．∴共有C28A15A16＝C28A26种方法．故选C.答案C4．(x－1)(x＋1)4的展开式中x4的系数是()A．－3B．3C．－5D．5解析∵(x＋1)4中x3，x4的系数分别是C34，C44，∴(x－1)(x＋1)4的展开式中x4的系数是C34－C44＝3.答案B5．若(x2－1x3)n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是()A．5B．4C．6D．7解析∵Tr＋1＝Crn(x2)n－r·(－1x3)r＝(－1)rCrnx2n－5r(r＝0,1,2，…，n)．令2n－5r＝0，即n＝52r.∴当r＝2，n＝5时，T3＝C25为常数项．答案A6．2010年南非世界杯足球赛参赛球队共32支，分成8个小组，每小组4支球队进行单循环赛，各组前两名出线，再按排定的签位进行淘汰赛，决出前4名，则比赛进行的场数共有()A．8A24＋12B．8A24＋16C．8C24＋12D．8C24＋16解析每小组单循环赛需C24场.8个小组共8C24场，16支出线的球队淘汰赛又需比赛162＋82＝12场．∴共需8C24＋12场．答案C7．8个人坐成一排照相，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有()A．56B．112C．118D．336解析先从8人中选出5人使其位置不变，有C58种选法，其他三人不能坐在原来的位置上，只有2种方法．故共有C58×2＝112种排法．答案B8．若对于任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3.则a2的值为()A．3B．6C．9D．12解析设x－2＝t，则x＝t＋2，原式化为(2＋t)3＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3∴a2＝C23·2＝6，故选B.答案B9．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．160B．240C．360D．800解析把(x2＋3x＋2)5看作5个因式(x2＋3x＋2)相乘．其中一个因式取3x，其他4个因式取2，得C153xC4424＝240x.∴x的系数为240.答案B10．下图是著名的杨辉三角，则表中所有各数的和是()A．225B．256C．127D．128解析由图可知，表中所有各数的和是20＋21＋22＋…＋26＝27－12－1＝27－1＝127.答案C11．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33B．34C．35D．36解析分类：若横坐标选5，有1×C12C13A22－1＝11(其中(5,1,1)重复)．若横坐标选B中的元素有：2C13C11A22＝12，若横坐标选C中的元素有3C12C11A22－2＝10(其中(1,5,1)，(1,1,5)与前重复)．∴共33个不同点．答案A12．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a0，a1，a2，…，a8中奇数的个数为()A．2B．3C．4D．5解析a0＝C08＝1，a1＝C18＝8，a2＝C28＝28，a3＝C38＝56，a4＝C48＝70，…，a8＝C88＝1.答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)解析由题设知，必有两个班去同一工厂，所以把5个班分成四组，有C25种分法，每一种分法对应去4个工厂的全排列．因此，共有C25A44＝240(种)．答案24014．(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝________.解析(1－2x)6的展开式中各项系数绝对值的和，相当于x＝－1时，(1－2x)6的值，即36＝729.答案72915．一个集合A含有n个元素，则集合A的所有子集的个数为________．解析所有子集的个数为C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.答案2n16．(2008·广东)已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.解析x8的系数为C46k4＝15k4.∵15k4120，∴k48，又k是正整数，∴k＝1.答案1三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)安排5名歌手的演出顺序．(1)要求歌手甲不第一个出场，有多少种不同的排法？(2)要求歌手甲不第一个出场，且歌手乙不最后一个出场，有多少种不同的排法？解(1)先从甲以外的4名歌手中选1人出场，其他四名歌手任意排列，所以，共有C14A44＝96种演出顺序．(2)(间接法)：A55－2A44＋A33＝78(种)或分类完成，第一类：甲最后一个出场，有A44＝24(种)第二类：甲不最后一个出场，有C13C13A33＝54(种)所以，共有24＋54＝78(种)演出顺序．18．(12分)已知441x＋3x2n展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.(1)求含有x3的项；(2)求二项式系数最大的项．解(1)由已知得Cn－2n＝45，即C2n＝45.∴n2－n－90＝0，解得n＝10，或n＝－9(舍)．由通项公式得：Tr＋1＝Cr10(4·x－14)10－r·x3r＝410－rCr10x－10－r4＋23r.令－10－r4＋23r＝3，得r＝6.∴含有x3的项是T7＝C610·44·x3＝53760x3.(2)∵n＝10，∴此展开式共有11项，∴二项式系数最大的项是第6项．∴T6＝C510(4x－145(x23)5＝258048x2512.19．(12分)从－1,0,1,2,3中选3个不同数字组成二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数．(1)开口向上且不过原点的不同抛物线有几条？(2)与x轴正、负半轴均有交点的不同抛物线有几条？(3)与x轴负半轴至少有一个交点的不同抛物线有几条？解(1)由题设知，a0且c≠0，因此共有C13C13C13＝27(条)满足条件的抛物线．(2)只需ac0，因此a，c中必有一个为－1.故满足条件的抛物线共有：C13C13×2＝18(条)．(3)可分为三类：第一类，与x轴正、负半轴均有交点的抛物线．由(2)知，18条；第二类，过原点且与x轴负半轴有一个交点，此时，c＝0，ab0，共有A23＝6(条)；第三类，与x轴负半轴有两个交点，则必须满足Δ≥0，－ba0，ca0，⇒b2－4ac≥0，a，b，c同号，∴b＝3，a，c在1,2中取，有2条．综上可知，共有18＋6＋2＝26(条)．20．(2010·重庆)(12分)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求(1)甲、乙两单位演出序号均为偶数的概率；(2)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．解考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任意两个，有A26＝30种等可能结果．(1)设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则A包含的结果有A23＝6种，故所求的概率为P(A)＝630＝15.(2)设B表示“甲、乙两单位演出序号不相邻”，则B表示甲、乙两单位为演出序号相邻，B包含的结果有5×A22＝10种，故所求的概率为P(B)＝1－P(B)＝1－1030＝23.21．(12分)设f(x)是定义在R上的一个给定的函数，函数g(x)＝C0n·f0n·x0·(1－x)n＋C1n·f1n·x·(1－x)n－1＋…＋Cnn·fnn·xn·(1－x)0(x≠0,1)．(1)当f(x)＝1时，求g(x)；(2)当f(x)＝x时，求g(x)．解(1)当f(x)＝1时，g(x)＝C0n(1－x)n＋C1nx(1－x)n－1＋…＋Cnnxn(1－x)0＝[(1－x)＋x]n＝1.(2)当f(x)＝x时，g(x)＝0＋1nC1nx(1－x)n－1＋2n·C2n·x2(1－x)n－2＋…＋nnCnnxn(1－x)0＝x[C0n－1(1－x)n－1＋C1n－1x(1－x)n－2＋…＋Cn－1n－1xn－1(1－x)0]＝x[(1－x)＋x]n－1＝x.22．(12分)袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球．(1)若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？(2)若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？(3)取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取4球的总分不低于5分，则有多少种不同的取法？解(1)分三类：3红1白，2红2白，1红3白这三类，由分类加法计数原理有：C34C16＋C24C26＋C14C36＝194(种)．(2)分三类：4红，3红1白，2红2白，由分类加法计数原理共有：C44＋C34C16＋C24C26＝115(种)．(3)由题意知，取4球的总分不低于5，只要取出的4个球中至少一个红球即可．因此共有取法：C14C36＋C24C26＋C34C16＋C44＝195(种)．