数学：第二章《圆锥曲线与方程》试题(3)(新人教A版选修2-1).

-1-第二章圆锥曲线与方程单元测试A组题（共100分）一．选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．方程231xy所表示的曲线是（）（A）双曲线（B）椭圆（C）双曲线的一部分（D）椭圆的一部分2．椭圆14222ayx与双曲线1222yax有相同的焦点，则a的值是（）（A）12（B）1或–2（C）1或12（D）13.双曲线22221xyab的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）（A）2（B）3（C）2（D）234.若抛物线的准线方程为x=–7,则抛物线的标准方程为（）（A）x2=–28y（B）y2=28x（C）y2=–28x（D）x2＝28y5.抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10,则P点的坐标是（）（A）（9,6）（B）（6,9）（C）（±6,9）（D）（9,±6）二．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。6．双曲线x225–y29=1的两个焦点分别为F1、F2,双曲线上的点P到F1的距离为12,则P到F2的距离为.7．双曲线14522yx的焦点到渐近线的距离等于.8．经过点P(4,–2)的抛物线的标准方程为.9．已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p＞0)上，F为抛物线焦点，若|PF|=8,则点F到抛物线准线的距离等于三．解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10．双曲线12222byax（a0,b0），过焦点F1的弦AB(A、B在双曲线的同支上)长为m，另一焦点为F2，求△ABF2的周长.11．焦点在y轴上的抛物线上一点P(m,–3)到焦点的距离为5,求抛物线的标准方程.12．已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线l的方程.-2-B组题（共100分）四．选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。13．如果双曲线136y64x22上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左准线距离是（）（A）965（B）865（C）856（D）83614．设0＜k＜a2,那么双曲线x2a2–k–y2b2+k=1与双曲线x2a2–y2b2=1有（）（A）相同的虚轴（B）相同的实轴（C）相同的渐近线（D）相同的焦点15．抛物线y=1ax2(a≠0)焦点坐标是（）（A）(0,a4)或(0,–a4)（B）(0,a4)（C）（0,14a)或(0,–14a)（D）(0,14a)16．若抛物线y2=2px(p＞0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6,则p的值等于（）（A）2或18（B）4或18（C）2或16（D）4或1617．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作一条直线l交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆和该抛物线的准线l的位置关系是（）（A）相交（B）相离（C）相切（D）不能确定五．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。18．若方程1k1y2|k|x22表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是.19．若双曲线与椭圆1362722yx有相同焦点，且经过点(15,4)，则该双曲线的方程为．20．在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）,若线段OA的垂直平分线过抛物线22(0)ypxp的焦点，则该抛物线的准线方程是.21．点M到点F(0,–2)的距离比它到直线l：y–3=0的距离小1,则点M的轨迹方程是.六．解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22．已知焦点在坐标轴上的双曲线,它的两条渐近线方程为y03x,焦点到渐近线的距离为3,求此双曲线的方程.xolMBACF-3-23．双曲线22221xyab(a0,b0)满足如下条件:(1)ab=3;(2)过右焦点F的直线l的斜率为221，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|:|QF|=2:1,求双曲线的方程.-4-24．过抛物线y=x2的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P,求动点P的轨迹方程.C组题（共50分）七．选择或填空题：本大题共2题。25．双曲线122yx右支上一点Ｐ(a,b)到直线l：y=x的距离2d则a+b=（）（A）–12（B）21（C）21或21（D）２或–226．已知抛物线y2=–x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点，则△AOB的形状是.八．解答题：本大题共2小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27.直线y=kx+1与双曲线x2－y2=1的左支交于A,B两点,直线l过点（－2,0）和AB的中点,求直线l在y轴上截距b的取值范围.28．如图所示，点),0)(0,(aaF点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且PMPNPFPM,0→0（1）求点N的轨迹C的方程；（2）过点)0,(aF的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点，设点)0,(aK，KBKA与的夹角为，求证：.20xyABPO-5-参考答案A组一、1、C.2、D.3、C.4、B.5、D.二、6、答：2或22.||PF2|－12|=2a=10，∴|PF2|＝12±10.7、答：2.焦点F(3,0)到渐近线2x－5y＝0的距离为69=2.8、答：y2=x或x2=–8y.当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程为y2=ax，P点代入解得a＝1；当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程为x2=ay，P点代入解得a＝－8.∴抛物线方程为y2=x或x2=–8y.9、答：4.由|PF|=6＋p2＝8,得p=4，即焦准距等于4.三、10.解∵|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|AF1|＝2a，∴(|AF2|－|AF1|)＋(|BF2|－|BF1|)＝4a,又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝m，∴|AF2|＋|BF2|＝4a＋(|AF1|＋|BF1|)=4a＋m.∴△ABF2的周长等于|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.11、解：依题意，设抛物线方程为为x2=－2py(p0)点P在抛物线上，到准线的距离为5，又点P到x轴的距离为3，所以准线到x轴的距离为2，∴p2＝2，∴p＝4，∴抛物线方程为x2=–8y.12、解：设l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，由y12=6x1、y22=6x2，得(y1－y2)(y1+y2)=6(x1－x2)，又P(4,1)是A、B的中点，∴y1＋y2=2，∴直线l的斜率k=y1－y2x1－x2＝3，∴直线l的方程为3x–y–11=0.B组四、13、选A.设P到右焦点的距离为|PF1|＝8，则P到左焦点的距离|PF2|＝2a＋|PF1|＝24.e＝54，∴P到左准线的距离d＝|PF2|e＝965.14、选D.15、B.将抛物线方程化为x2=ay，当a0时，p＝a2，焦点为(0,a4)，当a0时，p＝－a2，焦点为(0,－p2)，也是(0,a4).16、A.17、C.设AB中点为M，AD⊥l于D，BC⊥l于C，MN⊥l于N.∵|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,|MN|=12(|AD|+|BC|)=12|AB|,∴以AB为直径的圆于抛物线的准线l相切.五、18、(1,+∞),∵双曲线的焦点在y轴上，∴1020kk,∴k2.-6-∴c2=k－1＋k－2＝2k－31，∴c1.19．22145yx双曲线的方程为．20.答：54x.∵OA的垂直平分线的方程是12(1)2yx，令y=0得到抛物线的焦点为（54，0），∴抛物线的准线方程为54x.21、答x2=–8y.设M(x,y),依题意，22(0)(2)31xyy且y3.化简得x2=–8y.六、22.解设双曲线方程为y2－3x2=k(k0),当k0时，a2=k,b2=3k,c2=k34此时焦点为(0,k34),由题意得3=234k,解得k=27，双曲线方程为y2－3x2=27；当k0时，a2=－3k,b2=－k,c2=－k34,此时焦点为(k34,0),由题意得3=24k,解得k=－9,双曲线方程为y2－3x2=－9,即3x2－y2=9.∴所求双曲线方程为y2－3x2=27或3x2－y2=9.23.解:设直线l:y=212(x－c)，令x=0，得P(0,212c),设λ=2||||QFPQ，Q(x,y)，则有ccyccx6212122132212，又Q(221,36cc)在双曲线上,∴b2(23c)2－a2(－216c)2=a2b2,∵a2+b2=c2,∴222247(1)(1)1912baab,解得22ba=3,又由ab=3,可得2213ab,∴所求双曲线方程为2213yx.24、解法一：设1122(,),(,),(,),PxyAxyBxy:,(0)ABlykxbbxyABPO-7-由2,,ykxbyx消去y得：20xkxb，12xxb.∵OA⊥OB，∴0,OAOB∴12120xxyy，所以221212()()0xxxxbb,b≠0，∴b＝1，∴直线AB过定点M(0,1),又OP⊥AB，∴点P的轨迹是以OM为直径的圆（不含原点O），∴点P的轨迹方程为2211()(0)24xyy.解法二：设P(x,y)，lOB：ykx，lOA：1yxk，分别代入y=x2，得2211(,),(,)BkkAkk.由00OPBPOPAP得22222200xykxkyxyxykk，消去k得点P的轨迹方程为220(0)xyyy.C组七、25、选B.∵点P在直线l：y=x的下方，所以ba,所以22abd得2ab,又221ab,∴12ab.26、答：直角三角形.由(1)2yxykx得2222(21)0kxkxk，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，∵x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1+1)(x2+1)=1+k2(1－2k2+1k2+1)=0，∴→OA·→OB＝0，∴OA⊥OB，所以△AOB是直角三角形.八、27.解：设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+1与x2－y2=1联立得(1－k2)x2－2kx－2=0…………①,又1－k20,方程①有两个不大于－1的不等实根,∴12120()2(1)(1)0xxxx,即2222244(1)(2)0221221011kkkkkkk,-8-解得1k2;AB的中点为（21kk，211k）,直线l的方程为y=21(2)22xkk,截距b=222111722()416kkk,∴(,22)(2,)b28、解：（1）设),,0(),0,(),,(00yPxMyxN则).,(),,(),,(0000yyxPNyaPFyxPM由0,0200yaxPFPN得①PMPN0，)2,(00yyxx得0，即,2,,02,00000yyxxyyxx即并代入①，得axy42为所求.（2）设l的方程为.044,),(,4).(222aykayxaxkyaxyaxky得消去由设),,(),,(2211yxByxA则),,(),,(,42211221yaxKByaxKAayy2222212222121221214)44()4()(aaayayaayyyyaxxaxxKBKA.024212|)|2(412)(41222122221aaayyayy.20,0||cosKBKAKBKA说明：1、第15题为2007年广东高考理科数学试题