数形结合思想在函数和不等式方面的应用

数形结合思想在函数和不等式方面的应用摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系是非常密切的。把数和形结合起来，能够使抽象的数学知识形象化，把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图形，在具体的几何图形中寻找数量之间的联系，由此可以达到化难为简、化繁为易的目的。关键词：数形结合函数不等式应用数形结合是一种极富数字特点的信息转换方法，数学上总是用数的抽象性质说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。应用数形结合法，通过图形性质的的分析，使数学中的许多抽象的概念及定理直观化、形象化、简单化，并借助代数的计算和分析得以严谨化。利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。例1:对于xR,y取4-x,x+1，21(5-x)三个值的最小值。求y与x的函数关系及最大值。分析：在分析此题时,要引导学生利用数形结合思想,在同一坐标系中,先分别画出y=4-x,y=x+1,y=21(5-x)的图像，如图3。易得:A(1,2)，B(3,1),分段观察函数的最低点，故y与x的函数关系式是:y=xxx4)5(2113)(x3)1(1)1(x图1它的图像是图形中的实线部分。结合图像很快可以求得,当x=1时,y的最大值是2。例2:若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数，且f(2)=0,求f(x)0的x的范围。解:由偶函数的性质,y=f(x)关于y轴对称,由y=f(x)在(-∞,0)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0,做出图4,由图像可知f(x)0，所以x（-2，2)图2处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。例3:已知关于x的方程22)34(xx=px，有4个不同的实根,求实数p的取值范围。分析:设y=22)34(xx=342xx与y=px这两个函数在同一坐标系内,画出这两个函数的图像,如图3。可知：介于这两者之间,由:pxyxxy)34(2得x2+(p-4)x+3=0,再由△=0得,p=4±23,当p=4+23时,x=-3[1,3]舍去,所以实数p的取值范围是0p4-23。例4:若不等式x2-㏒ax0,在（0,21)内恒成立,则a的取值范围是什么?分析:原不等式可化为x2㏒ax，x（0,21)，设y1=x2与y2=㏒ax，在坐标系中作出y1=x2，x（0,21)的图像，如图当x=21时，y1=x2=41，显然,当x（0,21)时，y141就恒成立。①当a1时,在（0,21)上y2=㏒ax图像(如图6)在y1=x2的图像下方,不合题意。图4②当0a1时，y2=㏒ax在（0,21)上的图像（如图7）是减函数。只需y241，就可以使x2㏒ax，x（0,21)恒成立。故㏒a2141，㏒21a4，所以a（21）4=161,综上有a∈1,161。从以上几个例子可以看出，在数学中只要我们注意运用数形转化思想，既可增加学生们对数学的兴趣，同时又能提高对数学问题的理解力和解题能力，也是提高数学素质不可缺少的因素之一。掌握数学”双基”,培养数学能力是数学教学最重要的目的.而“培养思维品质是发展智力与能力的突破口”，”学生数学能力的差异通过数学思维的深刻性、灵活性、独创性、批判和敏捷性等思维品质来体现”，“思维的深刻性是一切思维品质的基础”。数形结合有利于提高思维的深刻性，因此，中学数学教学中，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想，作为数学知识的精髓，作为将知识转化为能力的”桥”来学习研究和掌握应用。要将数形结合法运用于解题教学和解题实践作为解题方法的数形结合，实际上包括两方面的内容：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系用“数”的分析加以分析；另一方面对于数量关系的问题，分析其几何意义，找出其中所反映的“形”之间的关系,借助形的直观来解决。二者都是数形结合，不可偏废。数形结合法要求教师在长期的教学过程中潜移默化的让学生掌握，仅仅靠几节课专门讲数形结合法解题的例子,是不能使学生真正理解和掌握数形结合方法的。参考文献：陈婉华.在数学教学中提高学生的多种能力[J].青年探索,2005,(06)董涛.建构主义视野中的数学概念教学[J]曲阜师范大学学报(自然科学版),2004,(02).