数形结合思想在高考解题中的应用

数形结合思想在高考解题中的应用数形结合不仅是一种重要的解题方法，也是一种的思维方法。它在中学数学教学中占有重要的地位，也是历年高考重点考察的内容之一。在运用数形结合解题时要注意以下两点：（1）“形”中觅“数”：根据形的直观性来寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题得到解决；（2）“数”中构“形”：根据代数问题具有的几何特征，进而发现数与形之间的关系，从而使代数问题几何化，使问题得到解决。下面通过一些典型例题来说明数形结合思想在解题中的运用。题型一、集合问题例1．已知集合A=|23,|14xxBxxx或,则集合AB____________________.解析：利用数轴表示，可得|21ABxx评注：本题考查集合的基本运算，属容易题。题型二、函数问题例2．点P（x,y）在直线430xy上，且x,y满足147xy，则P到坐标原点距离的取值范围是__________________.解析：如图，直线430xy分别与直线14,7xyxy的交点为12(6,8),(3,4)PP易知12||10,||5OPOP，故||OP的取值范围为0,10评注：考查两点间的距离公式及分析、解决问题的能力。注意虽然12||10,||5OPOP，但||OP的取值范围不是5,10。题型三、三角问题例3函数sin1()(02)32cos2sinxfxxxx的值域是_______________.解析：原式可化为2222(sin1)(sin1)32cos2sin(sin1)(cos1)xxyxxxx=21(sin1)1cos1()1sinxxx由数形结合思想得1cos1sinxx可理解为动点(sin,cos)xx与定点(1,1)连线斜率的取值范围，。。可求取值范围是0,，由此可求得21(sin1)1cos1()1sinxxx的值域为[1,0)，当sin1x时，()0fx，所以值域是1,0。评注：本题主要考查利用数形结合研究函数的最值，题目较繁琐，应加强运算能力的培养。题型四、不等式问题例4设二元一次不等式组219080,2140xyxyxy所表示的平面区域为M，使函数(0,1)xyaaa的图象过区域M的的取值范围是_______________________.解析：作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得(1,9),(3,8)AC当(0,1)xyaaa过(1,9)A时，a取最大值，此时9a；当(0,1)xyaaa过(3,8)C时，a取最小值，此时2,29aa。评注：本题考查了线性规划与指数函数，解决本题的关键是正确作图。题型五、方程问题例5等腰三角形两腰所在直线的方程分别为740xy和20xy，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为_______________.解析：如图，由题意知12:740,20lxylxy是等腰三角形两腰所在的直线方程，因其底边过原点，则设底边所在直线的斜率为(0)kk。由1l到BC边的角等于BC到2l的角得11173()1317kkkkkk或舍去评注：本小题考查了直线到直线的角的公式的应用。题型六、数列问题例6设等差数列na的前n项和为nS，若4510,15SS，则4a的最大值为___________.解析：设等差数列的首项为1a，公差为d，则414610,Sad即1235,ad5151015,Sad即123.ad又413,aad因此4a的最大值可转化为在线性约束条件1123523adad限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如下图，可知当413,aad经过点(1,1)A时有最大值4。评注：本题以等差数列为载体，考查线性规划问题。求解本题转化为线性规划问题是关键，本题对综合运用知识能力的要求较高。题型七、解析几何问题例7已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆2234xy上，对角线BD所在直线的斜率为1。（1）当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；（2）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值。解析：（1）由题意得直线BD的方程为1yx因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD于是可设直线AC的方程为yxn由2234xyyxn，得2246340.xnxn因为A,C在椭圆上，所以212640,n解得4343.33n设A,C两点坐标分别为1122(,),(,),xyxy则21212334,,24nnxxxx1122,.yxnyxn所以12.2nyy所以AC的中点坐标为3(,).44nn由四边形为菱形可知，点3(,)44nn在直线1yx上所以31,44nn解得2.n所以直线AC的方程为20.xy（2）因为四边形ABCD为菱形，且60ABC，所以||||||ABBCCA所以菱形ABCD的面积23||2SAC，由（1）可得22221212316||()(),2nACxxyy所以234343(316)().433Snn所以当0,n时菱形ABCD面积取得最大值43。评注：本题主要考查椭圆的几何性质、菱形的性质等知识，解决本题的关键是利用解析思路用代数式子来保证题中几何位置关系成立。