引言1-1函数12初等函数13数列极限

高等数学任课教师：史本广E-mail：[e-mail]电话：[phone]引言一、什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有概念更复杂理论性更强表达形式更加抽象推理更加严谨很大的不同，因此高等数学1.分析基础:函数,极限,连续2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)4.向量代数与空间解析几何5.无穷级数3.常微分方程主要内容多元微积分①曲线在点处的切线方程是怎样得到的？②图中阴影部分的面积如何计算？③OB弧的长度是如何求出的？④图中阴影部分的图形绕轴(或轴)旋转一周的立体的体积如何计算？问题举例⑤图中阴影部分的图形绕轴(或轴)旋转一周的立体的表面积是多少？（极限&导数）（定积分）（定积分的应用）（定积分的应用或二重积分）（二重积分的应用）二、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.认清高等数学与中学数学在教学上的区别,尽快适应高等数学的教学.①课堂大.近百人合班上课,一般不可能提问,教师授课的基点只能放在中等水平,照顾大多数.②时间长.每一次课一般是连续讲授两节课.③进度快.高等数学的内容丰富,学时有限,因此,平均每次课要讲教材8-10页.讲课主要是讲重点、难点、疑点，讲思路,举例也相对较少.3.端正学习态度,树立学好高等数学的信心,找到正确的学习方法.从某种意义上来讲,态度决定学习的结果,态度甚至重于能力.开始学习高等数学的时候,可能会碰到这样那样的困难和阻碍,一定要记得不能轻易放弃,要有学好高等数学的信心,风雨过后才能见彩虹.4.学数学最好的方式是做数学.做数学并非仅仅指做数学题,关键是理解并应用其解决实际问题.三、学习高等数学过程中的一些建议1.预习在每次上高等数学前一天,对第二天要讲的内容先作预习,即用少量的时间自学教材.大学四年中更重要的是要着眼于培养“会学”的能力.“会学”的内涵中就有自学,而预习则是培养自学能力的一个重要环节.2.听课做到脑、耳、眼、手并用,想、听、看、记共举.核心是积极思考.在听课时,如果有某些地方没有听懂怎么办?应暂时先放下它或承认它,并在教材相应处作上记号.3.记笔记教师讲课不是“照本宣科”.有些例子是教材上没有的，最好能记下来.课后翻开笔记可以一目了然地看出教师讲授内容的思路和结构及教材上所没有的补充内容和例子,教师的独特见解与心得等.4.复习学而不习,知识不易消化和掌握;习而不学,知识不易丰富.孔子说:“学而时习之”,就是这个道理.复习最好是在当天(或第二天)进行,并将课堂笔记与教材结合起来进行.5.答疑在数学上遇到疑问时(不管是听课、复习、作业中)都可以及时去请教老师,切勿“拖欠”.答疑是向老师学习、请教的良好时机,请同学们珍惜它、利用好它.6.作业字迹清楚、绘图准确、条理清晰、论证严谨,切忌抄袭和先看答案后解题.做作业决不能是为了应付教师.对教师批阅后的作业一定要认真看一遍,特别是自己有错误的题目.四、一些注意事项1.尽快适应大学的学习和生活节奏.2.平时成绩30%,期末考试成绩70%.3.不旷课,不迟到,有事请假(辅导员签字).4.认真完成作业,作业纸,每班交三分之一即可.5.上课不发出杂音,桌面有书、纸、笔.6.考研中数学150分，其中高等数学90分左右.7.答疑时间为每次课前，我会提前15-20分钟进教室.8.尽量不要问高数有用吗和这个会考吗==.第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限二、函数三、函数及性质一、集合、区间第一节机动目录上页下页返回结束函数元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.Ma(或Ma)..Ma注:M为数集*M表示M中排除0的集;M表示M中排除0与负数的集.机动目录上页下页返回结束表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合naaaA,,,21自然数集,,,2,1,0Nnn(2)描述法：xMx所具有的特征例:整数集合ZxNx或Nx有理数集qpQ,N,Zqpp与q互质实数集合Rxx为有理数或无理数开区间),(xbabxa闭区间],[xbabxa机动目录上页下页返回结束)(aa无限区间点的邻域a其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心邻域左邻域:右邻域:机动目录上页下页返回结束是B的子集,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2.则称A.BA若且则称A与B相等,.BA例如,显然有下列关系:,,若Ax,Bx设有集合,,BA记作记作必有机动目录上页下页返回结束AcABB定义3.给定两个集合A,B,并集xBA交集xBA且差集\xBABx且定义下列运算:ABBA余集)(\ABBABcA其中直积),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABA\BBABA机动目录上页下页返回结束或定义域二、函数1.函数的概念定义4.设数集,RD则称映射为定义在D上的函数,记为Dxxfy,)(f(D)称为值域函数图形:),(yxCDx,)(xfyxy)],[(baDabxy)(DfD机动目录上页下页返回结束自变量因变量DxfDxxfyyDfy),()((对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦函数•定义域•函数的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域机动目录上页下页返回结束例4.已知函数1,110,2)(xxxxxfy求)(21f及,)(1tf解:21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2t时0t函数无定义并写出定义域及值域.定义域),0[D值域),0[)(Df机动目录上页下页返回结束三.函数的几种特性设函数,,)(Dxxfy且有区间.DI(1)有界性,Dx,0M使,)(Mxf称)(xf,Ix,0M使,)(Mxf称)(xf说明:还可定义有上界、有下界、无界(2)单调性为有界函数.在I上有界.,Dx使若对任意正数M,均存在,)(Mxf则称f(x)无界.称为有上界称为有下界,)(,Mxf),(,xfM当,,21Ixx21xx时,,)()(21xfxf若称)(xf为I上的,)()(21xfxf若称)(xf为I上的单调增函数;单调减函数.xy1x2x机动目录上页下页返回结束xyoxx(3)奇偶性,Dx且有,Dx若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若)(xf在x=0有定义,.0)0(f)(xf为奇函数时,则当必有例如,2)(xxeexfyxch偶函数xyoxexexych双曲余弦记机动目录上页下页返回结束xyo又如,2)(xxeexfy奇函数xexexyshxsh双曲正弦记再如,xxychshxxxxeeee奇函数oyx11xth双曲正切记xyth机动目录上页下页返回结束(4)周期性,0,lDx且,Dlx则称)(xf为周期函数,xo2y2若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数Cxf)(狄里克雷函数x为有理数x为无理数,1,0机动目录上页下页返回结束第二节初等函数一、反函数与复合函数二、初等函数三、几个特殊函数一、反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为f的反函数.机动目录上页下页返回结束其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,),(,xeyx对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.)(xfyxy),(abQxyo机动目录上页下页返回结束指数函数(2)复合函数1),(Duufy1)(DDg且则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①机动目录上页下页返回结束—复合映射的特例②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件1)(DDg不可少.例如,函数链:,arcsinuy函数但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数.可定义复合机动目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数.例如,0,uuy可定义复合函数:Zn02cot,22xkxk时),2,1,0(,cotkkvvu),(,2xxv二、初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,,2xyy0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.机动目录上页下页返回结束三、几个特殊函数:符号函数当x0当x=0当x0xyo11取整函数当xyo134212机动目录上页下页返回结束例5.求y的反函数及其定义域.解:01x当时,2xy则]1,0(,yyx10x当时,xyln则]0,(,yexy21x当时,12xey则]2,2(,ln12eyxy反函数y定义域为]2,2(]1,(e21,210,ln01,12xexxxxx212e21yox1,]1,0(,]0,(,]2,2(e机动目录上页下页返回结束内容小结1.集合及映射的概念定义域对应法则3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构2.函数的定义及函数的二要素第二节目录上页下页返回结束且备用题证明证:令,1xt则,1txtctfbfat)()(1由xcxfbfax)()(1消去),(1xf得时其中a,b,c为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设机动目录上页下页返回结束2.设函数),(,)(xxfy的图形与,ax均对称,求证)(xfy是周期函数.)(baby证:由)(xaf)(xf的对称性知),(xaf)(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)2(xaf故)(xf是周期函数,周期为机动目录上页下页返回结束作业P5.A:1（2）,2（2），3（2），4（2）B：1-2、2-2、3-2P8.A:1-2、2-2、3-2；B：（2）三、收敛数列的性质四、小结一、概念的引入二、数列极限的定义第三节机动目录上页下页返回结束数列的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割