张量1-1.

主要参考书：王润富编《弹性力学简明教程学习指导》，高等教育出版社。陆明万、罗学富编《弹性理论基础》，清华大学出版社。1.1指标记法1.1.1求和约定、哑指标张量代数n1kkkn1jjjn1iii2211xaxaxaxaxaxaSnn显然，指标i,j,k与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：在同一项中，某个指标在成对出现，就表示对该指标遍历其取值范围求和，这样重复的指标称为哑标。于是kkorjjoriixaxaxaS说明：在等式或表达式中只有在同一项中出现两次标记符号，求和约定才有效。112233123,,iiVVeVeVeVVVVe如矢量V:123()()()(,,)ijfXfxfxfxxxiiixba是违约的，求和时要保留求和号n1iiiixban表示空间的维数。如我们总n=3。则例题332211iixaxaxaxa332211jjbbbbjijixax1.1.2自由指标例如指标i在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1,3,…,n，与哑标一样。如取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：3132121111xaxaxax3232221212xaxaxax3332321313xaxaxaxjijieeA3132121111eeeeAAAi为自由指标，j为哑标表示3232221212eeeeAAA3332321313eeeeAAAjkikijBAC1313121211111k1k11BABABABACi，j为自由指标，k为哑标表示9个方程：2313221221112k1k12BABABABAC3313321231113k1k13BABABABAC1323122211211k2k21BABABABAC3333323231313k3k33BABABABAC……例外：111ECR222ECR333ECRiiiiiECECR出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线以示区别，或用文字说明（如i不求和）。规定：这里i相当于一个自由指标，而i只是在数值上等于i，并不与i求和。又如，方程333222111232221用指标法表示，可写成iiiiiiiiiiii不参与求和，只在数值上等于i1.1.3微分的记法微分的记法在下标中，用一个逗号表示微分。如：第一个指标表示矢量的分量逗号表示关于第二个指标的偏导数第二个指标对应于相应的坐标轴3,32,21,1,vvvvxvViiii的散度：2,ii？？：ijjiaxb1.2Kronecker符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker符号定义为：ji,0ji,1ji100010001333231232221131211其中i，j为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定一单位矩阵：ji若jijiee321,,eee是相互垂直的单位矢量，则3332211iieeeeeeee，但3332211ii而，故iiiiee注意：3iiii是一个数值，即ji的作用：1）换指标；2）选择求和。例1：kiAAkkkkiikAAA思路：把要被替换的指标i变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k表示例2：jijkTTjijiiijkkiTTT例3：jnimBAnm个数，项的和。jmimjninjnimnmBABABA813,4求特别地，jijkkimimjjkki,1.3置换符号(Ricci符号),0,1,1kjiei,j,k,为1，2，3的偶排列i,j,k,为1，2，3的奇排列i,j,k,不是1，2，3的排列例如：1312231123eee1132213321eee0232121111eee逆序：前面的数大于后面的数可见：ijkjkikijjikikjkjieeeeeekjie也称为三维空间的排列符号。321,,eee若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量kkjijieeee则1.3.1符号（交错张量,Eddington张量）一个矢量可以被认为是一个具有3（3的下标数次幂）个元素的张量。交错张量有或27个元素，这些元素根据下标值规定为+1、-1或0。这种定义是根据将下标交换成1、2、3的自然顺序所需交换的次数而定。下标交换次数为偶数，则元素值为1；下标交换次数为奇数，则元素值为-1；下标出现重复，则元素值为0。不论交换方式如何，交换的次数总保持为奇数或偶数。ijk3311232311132叉积U×V可表成：123123123ijkjkeeeUVuuuuvvvv如i=1时：112323132322332jkjkuvuvuvuvuv可表成：()UVW123123123()ijkijkuuuUVWvvvuv用置换符号展开三阶行列式，令：111123222123231312132213321123123123123123123123333123aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa以表示行列式中的普遍项，以表示行列式，则：ijaija若将上式各项下标作一置换，如：213rstrsteaaa123123irstrstjrstrstaaeaaaeaaa相当将行列式两列互换，行列式值变为－a.可将此规律表示如下：irstlmnjlmnrstlmnaeaeeaaa123123213irstrstrstjrstsrtrstaaeaaaeaaaeaaal,m,n=1,2,3：123123123iiijjjijkkkkeiiirstjjjijkrstrstkkkrstee令i=r：iiiistjjjijkististkkkistee123123irstrstjrstrstaaeaaaeaaa利用交错张量和克朗内克的定义，可用展开法很容易地验证：恒等式ksjtktjsistijk1.4指标记法的运算mmiimmiicVbbUa1.4.1代入设(1)(2)把（2）代入（1）mmiicVbmnorelsennmmcVbnnmmiicVUa3个方程，右边为9项之和mmmmbVqaUp1.4.2乘积设则nnmmbVaUqp不符合求和约定mmmmbVaUqp0ijjinnT1.4.3因式分解考虑第一步用in表示jnjjiinnji,有换指标的作用所以0jjijjinnT即0)(jjijinT1.4指标记法的运算1.4.4缩并使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如：xyxxyxyxzyxxGEEE11)]([13322111212113322111121211)]([1GGEEExyiixyxyEGGEEE3322111212121133221111)1(2121211)]([1ijkkijijEE1将前3式相加E21解得ijijijijijEGE)21)(1(211得ijkkijijG21.4.4缩并缩并哑标与求和无关，可用任意字母代替为平均应力应变之间的关系G、λ称(Lame,G)常数ijkkijijG2kkkkiiiikkiiiiGGG)32(3221.4指标记法的运算1.4.5例题——熟悉指标记法和普通记法的转换求和约定同样适用于微分方程。不可压缩牛顿流体的连续性方程：其普通记法0iixU0332211xUxUxU0zyxzUyUxU或1.4指标记法的运算1.4.5例题——熟悉指标记法和普通记法的转换弹性力学平衡方程方程：写出其指标记法0xzxyxxxbzTyTxT0yzyyyxybzTyTxT0zzzyzxzbzTyTxT0ijibjT0,ijjibT例题：利用指标证明证明：CBABCACBA)()()(CBABCACBADCBABCADDCBADCBACBADcbcEADbCBEaCBADCBEijissittijsitjtisitsjkstkijikijijktsjkstijktskstjijkikjijkitskstk)()()()()()()()(因此：为置换算子）（或恒等式，有利用（下标交换偶数次）因为得））代入式（将式（和积可写出所以，由两个矢量的叉，设：3。坐标转换（标架变换，基变换）3.1设有一组老坐标系Xi及新坐标系Xi’，标架向量分别用ei(i=1,…,n),ei’(i’=1,…,n)表示;则有：ei’=Aii’ei(i’=1,…,n)（老坐标表示新坐标）AeeAAAAeeeennnnnnn1''11'1'11''1)(ei’线性无关的充要条件是det[Aii’]≠0;同理，有ei=Ai’iei’(i=1,…,n)（新坐标表示老坐标）BeeAAAAeeeennnnnnn''1''1'1'11''11)(则有AB=BA=E,即：ei’=Aii’ei=Aii’Aj’iej’所以有iA''''jijkkiAA例：转轴公式（老坐标表示新坐标）21'2'1cossinsincoseeee或者：cossinsincos21'2'1eeee新坐标表示老坐标cossinsincos'2'121eeee3.2坐标变换设向量x在新标架中的坐标xi’(i’=1,2,…,n);在旧标架中的坐标xi(i=1,2,…,n);即：iiiiexexX''则：''''iiiiiiiieAxexexXiiiixAx''注意到：ei’=Aii’ei(i’=1,…,n)（老坐标表示新坐标）线性空间中，若过渡矩阵是A,则向量的坐标变换为：nnxxxAxxx211''2'1cossinsincos21'2'1eeee而坐标变换公式：yxyxcossinsincos''给出一组数（a1,a2,…,an）经过坐标变换后，得到新的一组数（a1’,a2’,…,an’），如果这两组数之间的变换规律为iiiiaAa''则称他们为一阶协变张量（分量）4.张量的定义二阶协变张量在一个坐标系中，给出n2个数aij(i,j=1,2…,n),在坐标变换下，若这n2个数满足变换规律ijjjiijiaAAa''''称这组数为二阶协变张量（分量）应力（分量）),,,(),,,,(22211211yyxxyx