弹塑性力学01.

弹塑性力学河北工业大学土木工程学院王贵君博士教授绪论弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门学科。材料受力三个阶段：弹性→塑性→破坏弹性力学塑性力学破坏力学断裂力学等弹塑性力学基本假设物体是连续的，其应力、应变和位移都可用连续函数来描述；物体是均匀和各向同性的，每一个部分都具有相同的性质，物理常数不随位置和方向变化而变化；变形是微小的，变形后物体内各点的位移都远小于物体本来的尺寸，因而可忽略变形所引起的几何变化。弹塑性力学问题的求解方法根据几何方程、物理方程和运动（或平衡）方程以及边界条件和初始条件，解出位移、应变和应力等的表达式。精确解法，即能满足弹塑性力学中全部方程的解；近似解法，即根据问题的性质，采用合理的简化假设，从而获得近似结果。包括数值解法。第1章应力分析1.应力状态2.三维应力状态分析3.三维应力状态的主应力4.最大剪应力5.等倾面上的正应力和剪应力6.应力罗德参数与应力罗德角7.应力张量的分解8.平衡微分方程1.外力体力、面力(1)体力——弹性体内单位体积上所受的外力VVQFlim0——体力分布集度（矢量）VQxyzOijkXYZkjiFZYXX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影单位：N/m3kN/m3说明：(1)F是坐标的连续分布函数；(2)F的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等)(3)X、Y、Z的正负号由坐标方向确定。1－1应力状态(2)面力——作用于物体表面单位面积上的外力SQFSlim0——面力分布集度（矢量）SQxyzOijkXYZkZjYiXFXYZ——面力矢量在坐标轴上投影单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：(1)F是坐标的连续分布函数；(2)F的加载方式是任意的；(3)的正负号由坐标方向确定。XYZ2.应力(1)一点应力的概念dSdP内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑)MdSdPlim(1)M点的内力面分布集度(2)应力矢量----M点的应力的极限方向dP由外力引起的在P点的某一面上内力分布集度应力分量n(法线)应力的法向分量——正应力应力的切向分量——剪应力单位:与面力相同MPa(兆帕)应力是坐标的连续函数),,(zyx),,(zyx斜截面上的应力斜截面上的总应力斜截面上的正应力和剪应力(分解)coscos/SPSP2sin21,cos2vv横截面面积斜截面面积xxyyxxyyxyyx20(y,yx)(x,xy)maxminp21O2摩尔应力圆——一般应力状态)(21yxp)(2121minmaxxyx102tan平面应力状态主应力与应力主向最大剪应力2cos2sin2sin2cosxyxyqqp2221xyqpqxy02tan)(2121max)(21),(21yxyxqpO312摩尔应力圆－主应力状态平面应力与平面应变问题平面应力问题yxyZt/2简化为图示等厚度板受载情况——平行于板面且沿板厚均匀分布前后板面没有载荷；此种情况即属平面应力问题。2.平面应力问题的特征1.引例：墙壁、座舱隔板等薄板如图：厚度为t，以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为z轴，建立坐标系如图所示。因板面上（z=t/2）不受力，所以有：根据剪应力互等定理可知0)(,0)(,0)(222tzzytzzxtzz0,0,0zyzxz,0,0yzxzxyzyt/2t/2由于板很薄，外力又不沿厚度变化，应力沿板的厚度又是连续分布的，因此，可以认为在整板的所有各点都有：所以,在薄板中只剩下平行于x、y面的三个应力分量，即：此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图xyxyyxyxxxyyyxxyyxyxxyyx，，对于仅有平行于xy面的三个应力分量的均质薄板类问题，就称为平面应力问题。平面应变问题简化为长度很长的等截面柱体,载荷垂直于长度方向，且沿长度方向不变—作为无限长柱体看待。yxxyxzyxyzzzxzyxyyz3.平面应力问题的定义1.引例:水坝、隧洞等yxxyyxzzyxxyyx，，2.平面应变问题的特征(1)位移分量),(),,(,00yxvvyxuuwz且0000zyyzzyzxxzzx；；　三个应变分量。　　，故仅考虑　),();,();,(:0yxyxyxxyxyyyxxz对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对称截面，而对称截面上的各点是不能产生沿Z向的位移的，因此,对任一截面都应有：(2)应变分量根据对称关系和剪应力互等定理有(3)应力分量对于平面应变问体,真正独立的应力分量只有三个。)(0)]([1),();,();,();,(yxzyxzzzzyxxyyyxxEyxyxyxyx　由于　　　3.平面应变问题的定义yxxyyx,,对于无限长柱体，所有的应变与位移都发生xoy面内，就称为平面应变问题。这类问题称为平面应变问题0zyxxyyx，，，小结：平面问题基本未知量平面应力问题平面应变问题),,(),,(),,(yxyxyxxyyx1.应力分量（3个）)(),,(),,(),,(zxyyxyxyxyx独立的（3个）2.应变分量)();,(),,(),,(zxyyxyxyxyx　独立的（3个）),(),,(),,(yxyxyxxyyx　（3个）3.位移分量)(),,(),,(wyxvyxu独立的（2个）),(),,(yxvyxu（2个）fx面的应力：xzxyx,,y面的应力：yzyxy,,z面的应力：zyzxz,,1－2三维应力状态用矩阵表示：zzyzxyzyyxxzxyx其中，只有6个量独立。xyyxxyzyyz剪应力互等定理应力符号的意义：xzzx第1个下标x表示τ所在面的法线方向；第2个下标y表示τ的方向.应力正负号的规定：正应力——拉为正，压为负。剪应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx与材力中剪应力τ正负号规定的区别：xyxyxyxyxyyxxy规定使得单元体顺时转的剪应力τ为正，反之为负。yxxy在用应力摩尔圆时必须用此规定求解问题xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx四面体受力图在某点处取出一无限小四面体。它的三个面分别与x、y、z三个轴相垂直。另一面即为任意倾斜面，其法线为v，其方向余弦为l、m、n。zzyzxyzyyxxzxyxpv),cos(),,cos(),,cos(zvnyvmxvl利用力的平衡条件，可得任意斜截面上的应力pv作用于任一斜截面上的应力向量分量可以用作用在与坐标轴垂直的三个面上的应力向量分量来表示。上式可作为力的边界条件的表达式。nmlpnmlpnmlpzzyzxvzyzyyxvyxzxyxvxvzvyvxvpppp1－3三维应力状态的主应力在过任一点所作任意方向的单元面积上都有正应力和剪应力。如果在某一方向剪应力为零，则此方向即称为主方向（应力主向），而这时在该面上的正应力便称为主应力。如果v方向为主应力平面的方向，则有pvx=vl，pvy＝vm，pvz=vn，则得几何关系0)(0)(0)(nmlnmlnmlvzzyzxyzvyyxxzxyvx1222nmll,m,n不能同时为零，因此前式为包括三个未知量l,m,n的线性齐次方程。若有非零解，则此方程组的系数行列式应当等于零，即展开行列式得到其中0vzzyzxyzvyyxxzxyvx032213IIIvvv)(2)(222322221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxIIII1、I2、I3不随坐标方向不同而变，称为应力张量不变量，分别称为应力张量第一不变量、第二不变量与第三不变量。解一元三次方程，得三个主应力1,2,3。I1、I2、I3可用主应力表示如下：求解主应力时，先求出各应力张量不变量，再解一元三次方程。如何求应力主向？321313322123211III【例】已知一点的应力分量试求主应力的值。【解】求各应力张量不变量，I1=3，I2=-6，I3=-8，代入一元三次方程得解得将三个主应力分别代入并与几何条件联立，解得2,1,0,3yzzxxyzyx0863232,1,43217071.05774.04082.07071.05774.04082.00.05774.08165.0321321321nnnmmmlll044546135321或斜截面上的正应力和剪应力设斜截面上的正应力为v,则由投影可得若三个坐标轴的方向为主方向，且主应力大小顺序按x,y,z排列，则总应力为斜截面上的剪应力为vzvyvxvnpmplpzxyzxyzyxnlmnlmnml222222322212nmlv2222vvxvyvzpppp22vvvp三维应力圆三维应力状态下任意斜截面上的正应力和剪应力，在以三个主应力组成的应力圆所围成的阴影的范围之内。最大剪应力等于最大和最小正应力值之差的一半。1－4最大剪应力主应力平面上的剪应力为零；最大剪应力位于坐标轴分角面上，而三个最大剪应力分别等于三个主应力两两之差的一半。在主应力坐标系中（1,2,3分别代表1,2,3）主应力与最大剪应力作用面及其方向余弦1-5等倾面上的正应力和剪应力等倾面就是和三个主应力轴成相同角度（5444'）的面，等倾面的法线方向也与三个主应力轴成相同的角度。法线v为空间对角线，也称为等倾线。等倾面法线的方向余弦l,m,n可由下式确定则等倾面上的正应力和剪应力nmlnml122231nml132131)(31Imv221323222132)()()(31Jv主应力空间：以三个主应力为轴而组成的笛卡儿坐标系若将1,2,3轴在等倾面上投影，则在等倾面上可以得到互相成120角的三个坐标轴。3,3,3332211ppp等倾面及其上应力向量在等倾线上的投影0向量在等倾面上的投影00与轴1在等倾面上的投影之间的夹角称为应力状态的特征角，cos为应力形式指数。等倾面上一点的应力状态p2213232221032)()()(31J00pp)(31321ii22)(21cos