弹塑性力学第6章.

第六章梁的弹塑性弯曲一个实际的弹塑性力学问题与弹性力学问题一样在数学上总能归结为，一个偏微分方程组的边值问题。因此需要在严格的边界条件下求解复杂的偏微分方程组。由于往往难以克服数学上的困难，所以在一般情况下很难求得问题的解析解或精确解，而只有一些简单的问题，才存在解析解。6.1简单梁弹塑性弯曲问题①圆形截面杆的弹塑性扭转问题；②轴对称和球对称的问题；③简单桁架问题。具有该类求解特点的问题有：简单梁的弹塑性弯曲问题的特点：在平衡方程中和屈服函数条件中，未知函数和方程式的数目相等。求解的特点：结合边界条件及力的平衡条件可直接求出应力分布；应变和位移则根据物理关系和几何的连续方程求出。梁弹塑性弯曲的基本假定条件：①平断面假定条件；②不考虑纤维层之间的挤压应力；③在弹性区：xx呈线性关系；在塑性区：x仅考虑应力对屈服条件的影响xxxeExsxe对于理想弹塑性材料截面具有两个对称面的梁在理想弹塑性材料时，截面上的应力随着进入塑性阶段不同可能会出现三种情况：xsxs弹性极限状态弹塑性状态塑性极限状态sseMpMeheh（具有两对对称轴三个阶段中性层位置不变）6.2梁的弹塑性纯弯曲问题②弹性极限状态下梁曲率——ke（1）弹性极限状态①弹性极限状态下弯矩值——弹性极限弯矩sshh2es2Mhb3esWeWeeeM1EhW2e2Wbh32ebHW6se2EH（2）塑性极限状态pM①塑性极限状态下弯矩值——塑性极限弯矩s2psMbh②塑性极限状态下梁曲率seEhh0p梁的曲率可以无限增长。可将截面视为一个“铰”塑性铰与通常铰的区别：*塑性铰上作用有大小保持为的弯矩；*塑性铰转动角度的方向必须与作用的弯矩方向一致。pMpW塑性断面剖面模数psW2pWbh弹性极限弯矩、塑性极限弯矩的特点2es2Mbh32psMbh矩形截面是矩形截面形状固有的性质定义：peMM——截面形状系数显然：矩形截面的形状系数=1.5它表达了按塑性极限弯矩设计与弹性极限弯矩设计时梁截面的强度比。peWW形状系数仅与截面形状相关。其他截面形状系数seheh弹性核的高度heMyeh02bydyehh2bydy弹性区：e0yhseyh塑性区：ehyhs（3）梁弹塑性状态分析①弹塑性状态弹塑性弯矩eh2se0y2bdyhM=ehsh2bydy22esh1bh13h2es2hb322sebhhehh弹性极限状态2es2M=Mbh3eh0塑性极限状态2psM=Mbh2es3Mbh=2eehM=3-2hMeehM=3-2hM得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系该公式的用途之一：已知梁截面上的弹塑性弯矩数据——可直接确定截面上的弹性区与塑性区的交线，进而求得截面上的应力分布得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系①利用平断面假定②梁的曲率与弯矩的关系梁进入到弹塑性状态时，梁在弹性状态下，梁的曲率与弯矩具有下面的关系：22dv1M=EI=EIdx=EIxyyM=EI不成立xy②弹性核内虎克定律仍然成立：xxyE③在h=he高度上的曲率就是弹塑性梁在该点的曲率sseehEEheheh如何求解此时的曲率？弹塑性状态梁曲率seEh已知弹性极限状态下梁曲率：seEh弹塑性状态梁曲率与弹性极限状态下梁曲率的比：eehkh得出梁在弹塑性状态下曲率与弯矩的关系：eehM=3-2hM2eeeeMM1=3-23kMM2k利用以上公式已知弹塑性梁截面的弯矩就可确定梁在该截面的弯曲曲率2、理想弹塑性材料非矩形断面在各种阶段中性层求解具有一个对称轴截面求解的基本思想截面上力的平衡条件xAdA0例题等腰三角形截面截面中性层位置求解.顶部、底部、全部达到屈服时中心轴y距底边的高度线性强化材料：线性强化材料的应力应变曲线：se1yggEss1EE11sEE1EMeh02bydyehh2bydyeh2se0y=2bdyheh11shE2byE1dyE2es2hb3se1EhyseyEhehs11sehE2byEy1dyEhEeh2s11sehE2bEyy1dyEhE232e1sehE2hbhE3h322eshbh3矩形截面在理想弹塑性状态梁弹性核与弯矩的关系22esh1Mbh13heehM=3-2hMephM=31-hM3、理想弹塑性材料矩形截面梁塑性区的判断当梁的弯矩分布已知时，可通过上式求出核高沿杆件的分布简支梁极限情况：pxMM1lpMepMh=h31-Mexh=h3leh=0x=0elh=hx=3当x=l/3时截面完全处于弹性工作状态lx=3lx=3pM22pxMM1lepMh=h31-Mexh=3hleh=0x=0elh=hx=3此时截面完全处于弹性工作状态x=0.577lx=0.577l求解基本思想：4、矩形截面弹塑性梁的挠度位移求解①找到梁上完全弹性区与弹塑性区的分界点弯曲分布已知时，可直接通过判断eMorM在弹性区：成立M=EIvMvx=dxdxcxdEI②根据M分布——求解完全弹性区内挠度③根据M分布——求解弹塑性区内挠度④根据弹塑性区与完全弹性区交点上变形连续条件求得待定参数得弹塑性区挠度函数：esessehh1EEh弹塑性区：eeMh=h3-2MepMh=h31-M思路：A）利用在弹塑性区域弹性核高与弯曲分布的关系B）弹性核高位置应力已知得到曲率与弯曲分布的关系2s2edvdxEh得：2s2edvdxMEh3-2M2s2pdvdxMEh31-Mspvx(dx)dxaxbMxEh31-MPh例题悬臂梁固定端达到塑性极限弯曲最大挠度位移已知理想弹塑性材料制成的悬臂梁（如图），设集中载荷作用于梁的自由端处，而梁的截面是矩形。若杆件处于极限工作状态，而弯矩小于的线段长度为，试求自由端处的挠度值eMex