弹塑性理论基本知识.

岩体数值计算原理与方法张强勇目录1.绪论及张量基本知识2.弹塑性理论基本知识3.有限元计算方法4.节理岩体弹塑性损伤断裂有限元计算方法5.节理岩体损伤锚固有限元计算方法6.大型工程弹塑性损伤及加锚数值计算分析7.大型三维弹塑性和弹塑性损伤有限元计算程序使用介绍2.弹塑性理论基本知识2.1弹性力学基本知识2.2岩土塑性力学基本知识2.1弹性力学基本理论知识1.应力方向规定x12x3x111213212322313332x1x2x3正面正面正面负面负面负面正面上的应力，以与坐标轴的正向一致为正，反之为负。负面上的应力以与坐标轴的负向一致为正，反之为负。中j表示应力方向，i表示应力所在截面的外法线方向。ij2.应力变换公式取任意一个斜面，设其外法线上的单位矢量为ni，它的三个分量是方向余弦，即：且有ijmjninmll)3,2,1(),cos(ilennniii1332221nnn213nimi设该斜面上的应力矢量为，斜面的面积为△S，△S在X1OX2内投影为△S3，在X1OX3内投影为△S2，在X2OX3内投影为△S1。由四面体的平衡条件得到:已知：则：000321XXX333223113333222211223312211111SSSSPSSSSPSSSSPssnssnssn332211333232131332322212123132121111nnnPnnnPnnnPiPiP213nimi1S3S2SjiijniijPnl截面上的应力矢量的各分量为jP将Pj投影到任意新的m坐标轴上去，可得：上式表明：已知材料中任意一点的应力状态，则通过该点的任意截面（单位外法线矢量为ni）上的应力矢量Pj在任意方向上的投影为：由于满足形式，表明应力是二阶张量。)3,2,1,(332211jillplplplplijmjnijmjmmmnmijmnmijmjninmllmnjnimijTllTx12x3x111213212322313332x1x2x3正面正面正面负面负面负面213nimi1S3S2S已知一点的应力，利用应力变换公式可求得通过该点的任意截面上的正应力和剪应力。如下图，已知一点的平面应力状态可求得任意斜截面上的正应力，剪应力,,,,22211211nnnt1x2x2221111222211211nnntxxyynxyyxyxnxyyx22121211ijsin,cos21nnnilllcos,sin21tttjlll利用应力转换公式，可求得：ijmjninmll2212222211221122212211222212211122222122121121112211sincos22sincos222cos1sin2cos1sincossincossincosxyyxyxnnnnnnnniinniinniijnjninnnxyyxtntntntnitniiltlniijtjnintn22212221211222212212112111122sin2sincoscossinsincos3.主应力和主应力张量不变量主应力：主平面（剪应力为零的平面）上的正应力。设任一主平面的外法线方向为ni（i=1，2，3）由因n1，n2，n3不全为零，则0)(0)(0)(333223113332222112331221111nnnnnnnnn0//ijij0n)(nnnPiijijijijijij0032213332313322212312111III由可求得主平面上的主应力矢量在三个坐标轴上的投影则：333231232221131211311133133333223222221121123322111IIIkk032213III321,,321313322123211)(III因为主应力和坐标系的选择无关（即用主平面上的主应力描述一点的应力状态不随坐标系而变化），因此在坐标变换时也保持不变，故称分别为应力张量的第一、第二、第三不变量321,,III4.偏应力张量及其不变量由于任何张量总可以分解为球张量和偏张量两部分，即球张量：不随坐标系而变化的张量。偏张量：张量与球张量之差。应力张量也可分解为应力偏张量和应力球张量在主应力状态下ijTijijijijijPSQSTijijS)(31)(3131321332211kkPijQijSijQpppPQijij000000ijijijpSPPPSij321000000与应力张量不变量类似可得到偏应力张量的三个不变量:式中:为偏应力第一不变量；为偏应力第二不变量；为偏应力第三不变量321,,JJJijkiikijijijkkSSSSJSSSSSSSSSSSSSSJSSSSJ31)](6)()()[(6121)(0323122321221133233222221113313223211211333322221123322111)(31)(310232221321313322123222121SSSSSSJJJ1J2J3J5.应力空间一般应力空间：应力张量有6个独立分量，可视为6维空间中的一个点，这6维空间中的每一个坐标代表一种应力分量（或说代表一点的应力状态），这个应力空间称为一般应力空间。应力路径：研究固体中一个点的应力变化可用应力空间中的一个点的轨迹来形象加以描述，这个轨迹表示了应力变化的历史，称为应力路径。主应力空间：确定一点的主应力需要6个独立变量，三个主应力值和三个决定主轴方向的参数，如果研究的材料是各向同性的，主应力的方向可以不考虑，则一点的应力状态只由三个主应力值决定，如果用三个互相垂直的轴各表示一个主应力值，则得到一个三维的应力空间，称为主应力空间。主应力空间中任意一点的主应力矢量为,把分解为球张量和偏张量两部份：由知表征应力球张量的单位矢量n与三个主应力坐标轴的夹角相等，，我们称与三个主应力坐标轴成相同夹角的直线为静水压力轴，在静水压力轴上每一点的球张量的几何解释是静水压力轴上的一个分矢量。332211eeeP~P~~~QSP)(~3~2~1~eeePQ)(31~3~2~1~eeen5533arccos0321P6.八面体应力和等效应力八面体：如果一个平面的法线和三个坐标轴的夹角都相等（即），则这个平面称为等斜面，在主应力空间中，这样的平面共有八个，它们组成的几何体称为八面体。八面体上的正应力与第一应力不变量I1有关，八面体上的剪应力和第二偏应力不变量J2有关。33321nnnoctoct21323222121321)()()(313231)(31JIoctoct等效应力：许多文献为了把三维应力状态和单轴试验中的拉（压）应力联系起来，定义了等效应力在单向拉伸时，则为了把三维应力和纯剪试验中的剪应力联系起来，定义了等效剪应力2132322212)()()(213J0,321T2132322212)()()(61JT2.2岩土塑性力学基本知识1.塑性材料分类理想弹塑性材料应变硬化材料应变软化材料塑性材料的特征：加载、卸载遵循不同的应力～应变路径，是不可逆过程。应力与应变之间不是一一对应的关系，应力～应变关系与加载历史有关，即：式中为内变量，反映加载历史和材料微观结构变化的量，其不能直接测量，因此称为内变量。加载卸载加载卸载加载卸载),(qijijq2.理想弹塑性材料屈服：材料应力达到某一定值的时候变形可以不断增加而应力不再提高，这种现象称为屈服。屈服面：在应力空间中，每一种应力状态（）下都能找到一个确定屈服的临界，这些值所形成封闭曲面称为屈服面屈服准则：反映材料产生屈服的条件称为屈服条件（屈服准则）ij)(ijF0)(ijFijF()=0ijij0)(ijF对于金属材料认为：其屈服条件只与主应力大小有关，与其方向无关。其屈服条件只和应力偏张量有关，而与平均应力无关。这就是说材料的屈服面在空间中与静水压力轴平行。iikkP313.Tresca准则和Mises屈服准则Tresca屈服准则:认为材料的最大剪应力达到一定极限值k，材料就会产生屈服，其屈服条件只与、有关，和中间主应力无关。Tresca屈服面在应力空间为一六棱柱面，在平面上的投影为一正六边形。321Tresca六棱柱屈服面ssssssskbka21,0,:210,321321、在纯剪状态下、在单向拉伸状态下132k)(2131maxMises屈服准则:认为偏应力张量的第二不变量达到某一极限值C，材料产生屈服。J2=CJ2在π平面上的投影为一个圆，因此Mises屈服面为一平行静水压力轴的圆柱面。321Mises屈服面Tresca屈服面321Mises圆柱形屈服面s3s2s2s32s12s232s1577.03cJ,0,:bc31J,0,:a、纯剪状态、单向拉伸4.流动法则和加卸载准则流动法则:式中G为塑性势函数；λ为比例常数，q为内变量（反映加载历史和塑性变形的变量）加、卸载准则:ijijpijGhdGdd非关联流动法则关联流动法则GFGF卸载但中性卸载塑性加载且弹性阶段,00),(0,00),(0),(ijijijijijijijijijdFdFqFdFdFdFqFqFijF()=0ijij弹性加载塑性加载ijijFijd2卸载ijFij2dij5.塑性一致性条件塑性一致性条件：屈服面在应力空间随塑性内变量q的变化而变化，但材料在加载过程中出现的新的应力点（）将始终在后继加载面（屈服面）上，即，这种新的应力始终保持在加载面上的条件称为塑性一致性条件。即：0),(qFijijijd0dqqFdFdF0),(qFij0dqqFdFdFijijij初始屈服面后继屈服面F（,q）=0F（d,q+dq）=0由于塑性变形的影响，材料加卸载弹性模量随塑性变形的变化而变化，这种特性称为弹塑性耦合。6.弹塑性耦合Drucker——Prager屈服准则:D-P准则考虑了静水压力（围压效应）的影响，随静水压力增加的增加，屈服面半径不断扩大D-P准则在应力空间中为圆锥面，是Mises准则的推广。'21KJI222222232